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Matemática

Ângulos

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 18/10/2018

Introdução

No artigo de ponto, reta e plano, apresentamos os os três entes primitivos. Inicialmente, iremos introduzir dois conceitos importantes: segmento de reta e semirreta.

Segmento de reta

Tomemos dois pontos \( A\) e \( B\) distintos entre si ambos pertencentes a uma mesma reta \( r\). Ao conjunto de pontos da reta \(r\) que estão entre \(A\) e \( B\) damos o nome de segmento de reta \(AB\) e denotamos por \(\bar{AB}\).


Consideramos os pontos \( A\) e \( B\) também pertencentes ao tal segmento e os chamamos de extremos de \( \bar{AB}\).

Se \( X\) for um ponto qualquer entre  \(A\) e \(B\), então podemos escrever o segmento de reta \(AB\) como:

$$ \bar{AB}=\{X\mid X\;\text{está entre}\;A\;\text{e}\;B\}$$

Fica evidente que ao contrário de uma reta, um segmento de reta tem um começo e um fim.

Semirreta

Uma semirreta com origem num ponto \(A\) e passando por \( B\) é a união do segmento de reta \( \bar{AB}\) com os pontos \(X\) de modo que \(B\) está entre \(A\) e \(X\).


Ou seja, uma semirreta tem uma origem (neste caso, o ponto \(A\) mas não tem fim. Escrevemos a semirreta \(AB\) como \(\overline{AB}\)

Se \(A\) for um ponto entre \(B\) e \(C\) então as semirretas \(\overline{AB}\) e \(\overline{AC}\) são chamadas de semirretas opostas.


Ângulo

Tomando duas semirretas \(\overline{OA}\) e \(\overline{OB}\) de mesma origem \(O\). Chamamos de ângulo a região compreendida entre tais duas semirretas:


O ângulo ilustrado acima é indicado por \(A\hat{O}B\). A origem \(O\) comum às duas semirretas é definida como vértice do ângulo. E ainda dizemos que as semirretas \(\overline{OA}\) e \(\overline{OB}\) são os lados do ângulo.

Os pontos que estão entre as semirretas que originam um ângulo são chamados de pontos interiores.

Ângulos consecutivos, adjacentes e opostos pelo vértice

Dois ângulos serão chamados de ângulos consecutivos quando um de seus lados coincidirem.


Acima, os ângulos \(A\hat{O}B\) e \(A\hat{O}C\) são consecutivos pois, eles têm o lado \(OA\) em comum.


Os ângulos \(A\hat{O}B\) e \(B\hat{O}C\) ilustrados anteriormente também são consecutivos já que o lado \(OB\) é comum a ambos.

Ângulos adjacentes são ângulos consecutivos mas que não apresentam pontos interiores em comum. Acima, apenas na segunda imagem, os ângulos \(A\hat{O}B\) e \( B\hat{O}C\) são adjacentes.

Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPV) se os seus lados coincidirem com semirretas opostas. Na figura a seguir, os ângulos \(A\hat{O}B\) e \(C\hat{O}D\) são opostos pelo vértice.


Medida de um ângulo

Uma das principais medidas para um ângulo é o grau (º) que é definido da seguinte maneira: divide-se uma circunferência em 360 partes iguais e cada parte é dita ter 1º.

Deste modo, meia circunferência, isto é, o ângulo formado por duas semirretas opostas tem 180º.


Acima, \(A\hat{O}B=180º\)

Definimos como ângulos congruentes aqueles que têm a mesma medida. Podemos mostrar ainda que, se dois ângulos forem opostos pelo vértice, então eles são congruentes.

Classificação de um ângulo

Podemos classificar um ângulo quanto a sua medida de três maneiras:

  • Um ângulo é chamado de reto se a sua medida for igual que 90º;


            

            Por convenção, denotados um ângulo reto como ilustrado acima.

  • Um ângulo é chamado de agudo se a sua medida for menor que 90º;


            

  • Um ângulo é chamado de obtuso se a sua medida for maior que 90º.


            Em particular, um ângulo de 180º é chamado de ângulo raso.

Ainda, é possível classificar dois ângulos através da soma de suas medidas:

  • Dois ângulos são chamados de complementares se a soma de suas medidas for igual a 90º;
  • Dois ângulos são chamados de suplementares se a soma de suas medidas for igual a 180º.

Assim, se um ângulo medir \(x\), então o seu complemento mede \(90º-x\) e seu suplemento, \(180º-x\).

Fórmulas


 


Exercícios

Exercício 1
(PUC-MG)

O dobro do complemento de um ângulo é igual à quinta parte do suplemento desse ângulo. A medida do ângulo é igual a:

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