Info Icon Help Icon Como funciona Ajuda
Whatsapp Icon 0800 123 2222
Envie mensagem ou ligue
Matemática

Função Afim ou Função do 1º grau

Ricardo  Pavan
Publicado por Ricardo Pavan
Última atualização: 19/10/2018

Introdução

Uma função é dita do primeiro grau quando é da forma:

\(f(x) = a \cdot x + b\)

  • a e b pertencem ao conjunto dos Reais e a é diferente de zero.
  • \(a,b \in R \qquad a \neq 0\)

Exemplos:

  • \(f(x) = 2 \cdot x + 3\)
  • \(f(3) = 2.3 + 3 = 9\)
  • \(f(-2,5) = 2.(-2,5) + 3 = -2\)

Analise gráfica

A função do 1º grau é sempre representada por uma reta.

Função constante

Perceba que se a = 0, tem-se que f(x) = b (não é uma função do primeiro grau). Nesse caso, não temos mais a variável x na função, já que ela não depende mais de x e sua imagem sempre será b. Ou seja, é uma função constante.

Por exemplo: f(x) = 5


Observe que a função constante não é injetora, e que se for \(\mathbb R \rightarrow \mathbb R\), ela é par.

Função identidade

Caso a = 1 e b = 0, tem-se que f(x) = x, tem-se a chamada função identidade.

Na função identidade, os elementos do domínio se relacionam com os mesmos elementos no contradomínio. O gráfico é uma reta que contém as diagonais do 1º e do 3º quadrante do plano cartesiano. 


Propriedades 

Raiz de uma função

A raiz de uma função é o valor de x tal que f(x) = 0. No gráfico, isso representa y = 0. 

Considerando que a nossa expressão é \(y = a \cdot x + b\), logo:

\(0 = a \cdot x + b\)

Portanto:

\(x = - \frac{b}{a}\).

Com isso, podemos determinar um ponto da reta: \(\left( - \frac{b}{a}; 0\right)\).

Esse ponto é especial, pois é o ponto onde a reta corta o eixo x (abscissas). Portanto, é o ponto onde ocorre a mudança de sinal de y.

Coeficiente Linear

A parcela b da função é denominada coeficiente linear. Esse valor é importante pois representa o ponto onde a reta corta o eixo y (ordenadas). Ou seja, é o ponto onde a variável x tem valor 0.

Considerando a nossa expressão: 

\(y = a \cdot x + b\)

 Como \(x = 0\), temos:

\(y = a \cdot 0 + b = b\).

 Agora, temos outro ponto da reta: (0; b)

  • Exemplo 1:


  • Exemplo 2:


Coeficiente angular (taxa de variação)

Considerando dois pontos quaisquer da reta de uma função \(y = a \cdot x + b\), precisamos calcular a razão:
.

Considerando dois pontos quaisquer: 

  • Ponto 1: \((x_1; y_1)\)
  • Ponto 2: \((x_2, y_2)\)

Como ambos são pontos da mesma reta, temos:

\(y_1 = a \cdot x_1 + b e y_2 = a \cdot x_2 + b\)

Precisamos calcular agora a razão das variações:

\(\frac{\Delta \space y}{\Delta \space x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{a \cdot x_2 + b - (a \cdot x_1 + b)}{x_2 - x_1} = \frac{a \cdot x_2 + b - a \cdot x_1 - b}{x_2 - x_1} = \frac{a \space (x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a\)

O coeficiente a é a variação da função em relação a x. Por isso, se a for positivo, o valor da função sempre aumentará com o crescimento de x. Analogamente, se a for negativo, o valor da função sempre diminuirá com o crescimento de x.

Logo, se:

  • a é positivo: a função do primeiro grau é estritamente crescente (exemplo 1).
  • a é negativo: a função do primeiro grau é estritamente decrescente (exemplo 2).

Construção dos gráficos

Dada uma função afim, como o seu gráfico é sempre uma reta, precisamos de apenas 2 pontos para determiná-la. E vimos acima como encontrar dois pontos importantes em uma função afim.

Dessa maneira, para construir o gráfico de uma função do primeiro grau, apenas precisamos encontrar esses dois pontos e ligá-los por uma reta. 

Estudo do sinal

Estudar o sinal de uma equação significa encontrar os pontos de uma equação onde f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0.

O pontos onde f(x) = 0 é a raiz. Já vimos, acima, como encontrá-la.

Observe os exemplos 1 e 2 explicando os coeficientes linear e angular.

  • No exemplo 1, a > 0 e f(x) < 0 até a raiz, depois passou a ser f(x) >0.
  • No exemplo 2, a < 0 e f(x) > 0 até a raiz, depois passou a ser f(x) < 0.

Portanto, o sinal de uma função do primeiro grau pode ser visto como:

  • Igual ao de a depois da raiz.
  • Oposto ao de a antes da raiz.

Ou seja, se a for positivo, o sinal da função é positivo depois da raiz e negativo antes da raiz. Se a for negativo, o sinal da função é negativo depois da raiz e positivo antes da raiz.


Exercícios

Exercício 1
(UEL)

Se uma função f ,do primeiro grau, é tal que f(1)=190 e f(50)=2052, então f(20) é igual a:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, shorts e tênis acenando

Inscreva-se abaixo e receba novidades sobre o Enem, Sisu, Prouni e Fies:

Carregando...