Função Afim ou Função do 1º grau

Uma função é dita do primeiro grau quando é da forma:

\(f(x) = a \cdot x + b\)

• a e b pertencem ao conjunto dos Reais e a é diferente de zero.
• \(a,b \in R \qquad a \neq 0\)

Exemplos:

• \(f(x) = 2 \cdot x + 3\)
• \(f(3) = 2.3 + 3 = 9\)
• \(f(-2,5) = 2.(-2,5) + 3 = -2\)

Analise gráfica

A função do 1º grau é sempre representada por uma reta.

Função constante

Perceba que se a = 0, tem-se que f(x) = b (não é uma função do primeiro grau). Nesse caso, não temos mais a variável x na função, já que ela não depende mais de x e sua imagem sempre será b. Ou seja, é uma função constante.

Por exemplo: f(x) = 5

Observe que a função constante não é injetora, e que se for \(\mathbb R \rightarrow \mathbb R\), ela é par.

Função identidade

Caso a = 1 e b = 0, tem-se que f(x) = x, tem-se a chamada função identidade.

Na função identidade, os elementos do domínio se relacionam com os mesmos elementos no contradomínio. O gráfico é uma reta que contém as diagonais do 1º e do 3º quadrante do plano cartesiano. 

Propriedades 

Raiz de uma função

A raiz de uma função é o valor de x tal que f(x) = 0. No gráfico, isso representa y = 0. 

Considerando que a nossa expressão é \(y = a \cdot x + b\), logo:

\(0 = a \cdot x + b\)

Portanto:

\(x = - \frac{b}{a}\).

Com isso, podemos determinar um ponto da reta: \(\left( - \frac{b}{a}; 0\right)\).

Esse ponto é especial, pois é o ponto onde a reta corta o eixo x (abscissas). Portanto, é o ponto onde ocorre a mudança de sinal de y.

Coeficiente Linear

A parcela b da função é denominada coeficiente linear. Esse valor é importante pois representa o ponto onde a reta corta o eixo y (ordenadas). Ou seja, é o ponto onde a variável x tem valor 0.

Considerando a nossa expressão: 

\(y = a \cdot x + b\)

 Como \(x = 0\), temos:

\(y = a \cdot 0 + b = b\).

 Agora, temos outro ponto da reta: (0; b)

• Exemplo 1:

• Exemplo 2:

Coeficiente angular (taxa de variação)

Considerando dois pontos quaisquer da reta de uma função \(y = a \cdot x + b\), precisamos calcular a razão:
.

Considerando dois pontos quaisquer: 

• Ponto 1: \((x_1; y_1)\)
• Ponto 2: \((x_2, y_2)\)

Como ambos são pontos da mesma reta, temos:

\(y_1 = a \cdot x_1 + b e y_2 = a \cdot x_2 + b\)

Precisamos calcular agora a razão das variações:

\(\frac{\Delta \space y}{\Delta \space x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{a \cdot x_2 + b - (a \cdot x_1 + b)}{x_2 - x_1} = \frac{a \cdot x_2 + b - a \cdot x_1 - b}{x_2 - x_1} = \frac{a \space (x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a\)

O coeficiente a é a variação da função em relação a x. Por isso, se a for positivo, o valor da função sempre aumentará com o crescimento de x. Analogamente, se a for negativo, o valor da função sempre diminuirá com o crescimento de x.

Logo, se:

• a é positivo: a função do primeiro grau é estritamente crescente (exemplo 1).
• a é negativo: a função do primeiro grau é estritamente decrescente (exemplo 2).

Construção dos gráficos

Dada uma função afim, como o seu gráfico é sempre uma reta, precisamos de apenas 2 pontos para determiná-la. E vimos acima como encontrar dois pontos importantes em uma função afim.

Dessa maneira, para construir o gráfico de uma função do primeiro grau, apenas precisamos encontrar esses dois pontos e ligá-los por uma reta. 

Estudo do sinal

Estudar o sinal de uma equação significa encontrar os pontos de uma equação onde f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0.

O pontos onde f(x) = 0 é a raiz. Já vimos, acima, como encontrá-la.

Observe os exemplos 1 e 2 explicando os coeficientes linear e angular.

• No exemplo 1, a > 0 e f(x) < 0 até a raiz, depois passou a ser f(x) >0.
• No exemplo 2, a < 0 e f(x) > 0 até a raiz, depois passou a ser f(x) < 0.

Portanto, o sinal de uma função do primeiro grau pode ser visto como:

• Igual ao de a depois da raiz.
• Oposto ao de a antes da raiz.

Ou seja, se a for positivo, o sinal da função é positivo depois da raiz e negativo antes da raiz. Se a for negativo, o sinal da função é negativo depois da raiz e positivo antes da raiz.