Uma função é dita do primeiro grau quando é da forma:
\(f(x) = a \cdot x + b\)
Exemplos:
A função do 1º grau é sempre representada por uma reta.
Perceba que se a = 0, tem-se que f(x) = b (não é uma função do primeiro grau). Nesse caso, não temos mais a variável x na função, já que ela não depende mais de x e sua imagem sempre será b. Ou seja, é uma função constante.
Por exemplo: f(x) = 5
Observe que a função constante não é injetora, e que se for \(\mathbb R \rightarrow \mathbb R\), ela é par.
Caso a = 1 e b = 0, tem-se que f(x) = x, tem-se a chamada função identidade.
Na função identidade, os elementos do domínio se relacionam com os mesmos elementos no contradomínio. O gráfico é uma reta que contém as diagonais do 1º e do 3º quadrante do plano cartesiano.
A raiz de uma função é o valor de x tal que f(x) = 0. No gráfico, isso representa y = 0.
Considerando que a nossa expressão é \(y = a \cdot x + b\), logo:
\(0 = a \cdot x + b\)
Portanto:
\(x = - \frac{b}{a}\).
Com isso, podemos determinar um ponto da reta: \(\left( - \frac{b}{a}; 0\right)\).
Esse ponto é especial, pois é o ponto onde a reta corta o eixo x (abscissas). Portanto, é o ponto onde ocorre a mudança de sinal de y.
A parcela b da função é denominada coeficiente linear. Esse valor é importante pois representa o ponto onde a reta corta o eixo y (ordenadas). Ou seja, é o ponto onde a variável x tem valor 0.
Considerando a nossa expressão:
\(y = a \cdot x + b\)
Como \(x = 0\), temos:
\(y = a \cdot 0 + b = b\).
Agora, temos outro ponto da reta: (0; b)
Considerando dois pontos quaisquer da reta de uma função \(y = a \cdot x + b\), precisamos calcular a razão:
.
Considerando dois pontos quaisquer:
Como ambos são pontos da mesma reta, temos:
\(y_1 = a \cdot x_1 + b e y_2 = a \cdot x_2 + b\)
Precisamos calcular agora a razão das variações:
\(\frac{\Delta \space y}{\Delta \space x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{a \cdot x_2 + b - (a \cdot x_1 + b)}{x_2 - x_1} = \frac{a \cdot x_2 + b - a \cdot x_1 - b}{x_2 - x_1} = \frac{a \space (x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a\)
O coeficiente a é a variação da função em relação a x. Por isso, se a for positivo, o valor da função sempre aumentará com o crescimento de x. Analogamente, se a for negativo, o valor da função sempre diminuirá com o crescimento de x.
Logo, se:
Dada uma função afim, como o seu gráfico é sempre uma reta, precisamos de apenas 2 pontos para determiná-la. E vimos acima como encontrar dois pontos importantes em uma função afim.
Dessa maneira, para construir o gráfico de uma função do primeiro grau, apenas precisamos encontrar esses dois pontos e ligá-los por uma reta.
Estudar o sinal de uma equação significa encontrar os pontos de uma equação onde f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0.
O pontos onde f(x) = 0 é a raiz. Já vimos, acima, como encontrá-la.
Observe os exemplos 1 e 2 explicando os coeficientes linear e angular.
Portanto, o sinal de uma função do primeiro grau pode ser visto como:
Ou seja, se a for positivo, o sinal da função é positivo depois da raiz e negativo antes da raiz. Se a for negativo, o sinal da função é negativo depois da raiz e positivo antes da raiz.
Se uma função f ,do primeiro grau, é tal que f(1)=190 e f(50)=2052, então f(20) é igual a: