Probabilidade

A probabilidade de um evento é tal que:

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\)

A letra “E” faz referência ao evento do qual estamos tratando (evento “E”), enquanto a letra “S” diz respeito ao espaço amostral (espaço amostral “S”). Assim, “n(E)” é o número de elementos do evento “E” e “n(S)” é o número de elementos do espaço amostral “S”.

Para ficar mais claro, a fórmula pode ser compreendida, também, da seguinte maneira:

\(P(A)=\frac{nº\ de\ casos\ favor\acute{a}veis\ a\ A}{nº\ de\ casos\ poss\acute{i}veis}\), 

onde A é o evento com que estamos trabalhando.

Dados são muito utilizados no estudo de probabilidade

É definido como o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento e é indicado por “S”.

Exemplo 1: No lançamento de uma moeda, os resultados possíveis são S={C; K}, onde C=cara e K=coroa.

Exemplo 2: No lançamento de um dado, os resultados possíveis são S={1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Quando os elementos têm a mesma chance de ocorrer, chamamos o espaço amostral de equiprovável.

É definido como qualquer subconjunto do espaço amostral “S”. Indicamos o evento por “E”. Caso o evento seja impossível, ele será um subconjunto vazio \(\varnothing\).

União de eventos

Exemplo 3: No lançamento de um dado, o espaço amostral é S={1; 2; 3; 4; 5; 6}. Sejam os eventos:

•  \(E_{1}\): ocorrer face par \(\rightarrow E_{1}=\{2; 4; 6\};\)
• \(E_{2}\): ocorrer número menor que 3 \(\rightarrow E_{2}=\{1;2\}\).

O evento união será aquele quando ocorre face par ou um número menor que 3, ou seja:

\(E_{1}\cup E_{2}=\{1;2;4;6\}\)

Interseção de eventos

Exemplo 4: Considerando o mesmo experimento anterior, sejam os eventos:

• \(E_{1}\): ocorrer face par \(\rightarrow E_{1}=\{2;4;6\}\);
• \(E_{2}\): ocorrer número múltiplo de 3 \(\rightarrow E_{2}=\{3;6\}\).

O evento interseção de \(E_{1}\)com \(E_{2}\) será aquele quando ocorre face par e um número múltiplo de três, ou seja: 

\(E_{1}\cap E_{2}=\{6\}\)

Eventos mutuamente exclusivos

É uma interseção de eventos resultando em conjunto vazio, ou seja, são eventos que não ocorrem simultaneamente:

\(E_{1}\cap E_{2}=\varnothing\)

Exemplo 5: No lançamento de uma moeda, sejam os eventos:

• \(E_{1}\): obter cara \(\rightarrow E_{1}=\{C\}\);
• \(E_{2}\): obter coroa \(\rightarrow E_{2}=\{K\}\).

Nota-se que os eventos não podem ocorrer simultaneamente, portanto, eles são mutuamente exclusivos.

Eventos complementares

Exemplo 6: No lançamento de um dado, seja o evento:

• E: ocorrer número par.

O evento complementar do evento E será não ocorrer número par. O evento complementar é indicado por \(\overline{E}\). Nesse caso, \(\overline{E}=\{1;3;5\}\). É importante ressaltar que o evento E e o seu complementar nunca ocorrem simultaneamente. Assim, podemos dizer que:

\(E\cap \overline{E}=\varnothing\)  (mutuamente exclusivos)

\(E\cup \overline{E}=S\rightarrow \overline{E}=S-E\)

Propriedade

A probabilidade de ocorrer um evento E do espaço amostral S é sempre maior ou igual a zero e menor ou igual a um:

\(0\leq P(E)\leq 1\)

Exemplo 7: De um baralho de 52 cartas, tira-se ao acaso uma carta. Determine a probabilidade de que a carta seja:

• um valete.
• um rei de copas.
• uma carta de espadas.

Resolução: sabemos que o espaço amostral é igual a 52 cartas (n(S)=52).

• O evento é sair um valete. Como existem 4 valetes no baralho (um para cada naipe), temos que n(E)=4. Então:

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\rightarrow P(E)=\frac{4}{52}\rightarrow P(E)=\frac{1}{13}\)

• O evento é sair um rei de copas. Como existe somente uma carta dessa no baralho, temos que n(E)=1. Então:

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\rightarrow P(E)=\frac{1}{52}\)

• O evento é sair uma carta de espadas. Como existem 13 cartas deste naipe no baralho, temos que n(E)=13. Então: 

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\rightarrow P(E)=\frac{13}{52}\rightarrow P(E)=\frac{1}{4} (ou\ seja\ 25\%)\)

Exemplo 8: De um baralho de 52 cartas, são retiradas quatro cartas aleatoriamente, sem reposição. Qual a probabilidade de se obter(em):

• uma quadra?
• quatro quartas do mesmo naipe?

Resolução: Como vamos retirar quatro cartas do baralho, temos o caso de uma combinação de 52 elementos tomados 4 a 4 (a ordem das cartas não importa). Assim, o espaço amostral é:

\(C_{52,4}=\frac{52!}{4!(52-4)!}=270725\)

• O evento é sair uma quadra. Como temos 13 valores de cartas no baralho (ás, dois, três, quatro, etc.), temos a possibilidade de realizar 13 quadras, pois cada uma dessas cartas possui outras 3 de naipes diferentes. Então:

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{13}{270725}\approx 0,0048\%\)

• O evento é sair quatro cartas do mesmo naipe. Temos o seguinte:

\(C_{13,4}\) maneiras de se tirar 4 cartas de espadas;

\(C_{13,4}\) maneiras de se tirar 4 cartas de copas;

\(C_{13,4}\) maneiras de se tirar 4 cartas de paus;

\(C_{13,4}\) maneiras de se tirar 4 cartas de ouros.

Assim:
\(C_{13,4}+C_{13,4}+C_{13,4}+C_{13,4}=4\cdot C_{13,4}\)
Existem \(4\cdot C_{13,4}\) maneiras de se tirar 4 cartas de cada naipe. Portanto:
\(P(E)=\frac{4\cdot C_{13,4}}{270725}\)

Probabilidade da união de dois eventos

    A probabilidade da união de dois eventos é dada por:

\(P(E_{1}\cup E_{2})=P(E_{1})+P(E_{2})-P(E_{1}\cap E_{2})\)

Sendo que \(P(E_{1})\) é a probabilidade de ocorrência do evento 1, \(P(E_{2})\) é a probabilidade de ocorrência do evento 2 e \(P(E_{1}\cap E_{2})\) é a probabilidade de ocorrência da interseção dos eventos 1 e 2.

Exemplo 9: Dois dados são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de a soma das faces ser 8 ou um número primo.

Resolução: os eventos são

• \(E_{1}\): a soma das faces ser 8;
• \(E_{2}\): a soma das faces ser um número primo.

O espaço amostral é n(S)=36, já que como cada dado tem 6 faces, temos 6.6=36 possibilidades. Assim:

• \(E_{1}=\{(2,\ 6); (6,\ 2); (3,\ 5); (5,\ 3); (4,\ 4)\}\rightarrow n(E_{1})=5\)
• \(E_{2}=\{(1,\ 1); (1,\ 2); (1,\ 4); (1,\ 6); (2,\ 1); (2,\ 3); (2,\ 5); (3,\ 2); (3,\ 4); (4,\ 1); (4,\ 3); (5,\ 2); (5,\ 6); (6,\ 1); (6,\ 5)\}\rightarrow n(E_{2})=15\)

Calculando as probabilidades, temos:

\(P(E_{1})=\frac{5}{36} \ e \ P(E_{2})=\frac{15}{36}\)

\(P(E_{1}\cup E_{2})=P(E_{1})+P(E_{2})=\frac{5}{36}+\frac{15}{36}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}\)

Observe que a interseção dos dois eventos é o conjunto vazio!

Probabilidade do evento complementar

A probabilidade do evento completar é dada por:

\(P(E_{1}\cup \overline{E})=P(E_{1})+P(\overline{E})\)

Porém, como o evento e seu complementar são mutuamente exclusivos, então:

\(P(E_{1}\cup \overline{E})=1\), assim:

\(P(E_{1})+P(\overline{E})=1\)

Exemplo 10: No lançamento de um dado, a probabilidade de dar o número 3 ou 4 é \(\frac{2}{6}\). Então, a probabilidade do evento complementar (ou seja, não dar 3 ou 4) é 1-\(\frac{2}{6}=\frac{4}{6}\).