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Matemática

Regra de Três

Eduardo Imagawa
Publicado por Eduardo Imagawa
Última atualização: 3/12/2018

Introdução

Regra de Três é uma ferramenta simples, mas muito poderosa. Ela é utilizada para descobrir um valor desconhecido, que segue a mesma razão de outros já conhecidos. 

De maneira mais simples, trata-se de descobrir um quarto valor a partir de outros três – daí vem o nome da regra. Para começar, vamos esclarecer alguns conceitos importantes.

Razão é a divisão de um número por outro.

Proporção é a igualdade entre razões.


Vejamos um exemplo simples que utiliza as ideias apresentadas:

Na rua Alcântara, a razão entre o número de moradores pelo número de casas é de 3,4. Sabendo que há 40 casas na rua, quantos moradores habitam ela?

Aqui, ainda não há os três valores de um problema típico de regra de três, mas já é possível aplicar uma relação de proporção. 

Embora 3,4 não seja uma fração comum, não deixa de ser uma razão, ou seja, uma divisão de um número por outro (número de moradores pelo número de casas). Assim, montamos a seguinte proporção:

Uma regra de três segue raciocínio semelhante e nada é mais é do que usar uma proporção para encontrar um valor

Por isso, ela só vale quando as grandezas relacionadas forem proporcionais, ou seja, se uma delas aumentar ou diminuir na mesma proporção que a outra. Uma grandeza pode ser o número de pacotes de biscoito e outra, o número de biscoitos, por exemplo.

Para grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma aumenta na mesma proporção que outra. Para ilustrar o raciocínio, vamos ver um exemplo simples:

Dois pacotes de biscoitos contêm, juntos, 10 biscoitos. Se Maria comprar seis pacotes, quantos biscoitos terá ao final?

A resposta é 30 biscoitos, mas é preciso enxergar o raciocínio por trás:

Podemos fazer um esquema com os três dados do problema:

 2 pacotes →10 biscoitos
6 pacotes →? biscoitos 

O número de biscoitos aumenta na mesma proporção que o número de pacotes aumenta, ou seja, são grandezas diretamente proporcionais. Isso permite expressar o mesmo esquema da seguinte forma:

Aqui, temos duas razões, isto é, temos duas frações. A relação de igualdade entre essas razões forma a proporção, em que o numerador se altera conforme o denominador se altera.

Multiplicando em cruz, temos que:

2x=60

x=30 biscoitos

Podemos aplicar a regra de três neste outro exemplo:

No bar Hanói, servem-se quinze drinques em duas horas. Quantos drinques serão servidos em doze horas?

Aqui, temos de volta uma regra de três típica, com grandezas diretamente proporcionais.

Em ambos os casos, as grandezas eram diretamente proporcionais.

Para grandezas inversamente proporcionais

Nem sempre uma grandeza aumenta junto com a outra. Por exemplo, quanto mais pedreiros trabalham em uma obra, menos tempo ela levará para ser concluída. Para 

Dois pedreiros levam nove dias para erguer um muro. Se mais um pedreiro for contratado, quanto tempo levarão para fazer a mesma obra?

Caso as grandezas fossem diretamente proporcionais, seria aplicada a seguinte proporção:

Como elas são inversamente proporcionais, basta inverter uma das razões:

É possível ainda haver uma regra de três composta, com uma proporção que relaciona mais de duas razões. É o caso dos seguintes exemplos:

Cinco operários trabalham 8 horas por dia e produzem 100 peças por dia. Se a jornada de trabalho reduzisse para 6 horas diárias, quantos operários seriam necessários para produzir 90 peças por dia?

Analisemos: se apenas o número de operários aumenta, o número de horas por dia diminui e o número de peças por hora aumenta.

5 operários  →8 horas por dia e 100 peças por dia
x operários  →6 horas por dia e 90 peças por dia

Faremos a seguinte proporção: no lado esquerdo, escrevemos a primeira razão; no lado direito, o produto das outras razões. Como “horas por dia” é inversamente proporcional à primeira razão (“operários”), esta razão é escrita de modo invertido.


Três torneiras enchem uma piscina de 1600 litros em duas horas. Quanto tempo cinco torneiras levarão para encher uma piscina de 2000 litros?

Vamos analisar: se apenas o número de torneiras aumenta, o número de litros enchidos aumenta e o número de horas diminui.

3 torneiras  →1600 litros e 2 horas
5 torneiras  →2000 litros e x horas

Faremos a seguinte proporção: no lado esquerdo, escrevemos a primeira razão; no lado direito, o produto das outras razões. Como “horas” é inversamente proporcional à primeira razão (“torneiras”), esta razão é escrita de modo invertido.


Exercícios

Exercício 1
(Quero Bolsa)

Ana, Beatriz e Cida resolveram investir em um apartamento. Ana comprou uma cota por R$40.000, Beatriz comprou outra cota por R$25.000 e Cida contribuiu com os R$20.000 restantes. Se o apartamento foi vendido por R$255.000, quanto Ana receberá?

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, shorts e tênis acenando

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