O demógrafo e economista britânico Thomas Malthus afirmou, em 1798, que uma população cresce exponencialmente. Veremos o que isso significa a partir do entendimento de função exponencial.
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Uma função é dita exponencial quando é da forma:
\(f(x) = a^x\)
Onde a é maior que 0 e diferente de 1: \(a > 0 \qquad a \neq 1\)
É recomendado verificar as propriedades da potenciação para melhor compreendimento.
Sabendo da definição e as propriedades da potenciação, podemos justificar o motivo da base ter que ser maior que 0 e diferente de 1:
O comportamento da função exponencial é muito característico e pode ser facilmente visto com alguns exemplos:
Exemplo 1: \(f(x) = 2^x\)
Perceba que a função cresce extremamente rápido a medida que a grandeza x tende ao infinito: (\(x \rightarrow + \infty\))
Além disso, diminui tão rapidamente à medida que a grandeza x tende ao infinito negativo: (\(x \rightarrow - \infty\)).
Isso se deve à propriedade da potenciação:
\(a ^ -x = \frac{1}{a ^ x}\)
Mas um detalhe importante que deve ser mencionado é em relação à função exponencial na forma: \(f(x) = a ^ x\)
Essa função nunca cruza com o eixo das abscissas. O seu valor tende a 0 - se torna infinitezimal - mas nunca é igual a 0. Isso se deve ao fato de que não existe um número pertencente aos reais tal que \(a ^ x = 0\). Nesse caso, o eixo das abscissas recebe o nome de assíntota.
Exemplo 2: \(f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^2\)
Perceba que a mesma coisa acontece, mas ao contrário. A função cresce com valores negativos de x e decresce com valores positivos de x.
Em uma função exponencial:
Perceba, também, que ambos os gráfico passam pelo ponto (0; 1). Isso se deve ao fato de que, para qualquer valor de a real (\(a \in \mathbb{R}\)), \(a^0 = 1\)
Algumas mudanças à forma básica da função podem gerar leves mudanças no gráfico da função.
Exemplo: \(2^x\) e \(2^x + 2\)
Perceba que a soma de uma constante à função gerou um deslocamento na direção do eixo y, e que agora a assíntota da função está na reta y = 2.
Exemplo: \(2^x\) e \(3 \cdot 2^x\)
Perceba que agora o gráfico tem um crescimento mais acentuado, juntamente com um decrescimento mais suave.
A forma mais comum de cobrança de juros é com juros composto. Nesse caso, o juros vai aumentando após cada período.
Seja C_0 o capital inicial, i% a taxa aplicada a cada período e n o número de periodos:
\(C_0 \\C_1 = C_0 + i \space \% \space \cdot C_0 = C_0 \cdot (1 + i \space \%) \\ C_2 = C_1 + i \space \% \space \cdot C_1 = C_1 \cdot (1 + i \space \%) = C_0(1 + i \space \%)^2 \\ C_3 = C_2 + i \space \% \space \cdot C_2 = C_2 \cdot (1 + i \space \%) = C_0(1 + i \space \%)^3\)
De uma forma geral:
\(C_n = C_0 \cdot (1 + i \space \%) ^ n\)
Seja f(x) = a + 2bx + c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta \(]–1, \infty[\) e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, –\(\frac{3}{4})\). Então, o produto abc vale