Estática

A estática estuda corpos e sistemas nos quais as forças estão em equilíbrio. De acordo com as Leis de Newton, para uma partícula estar em equilíbrio, a força resultante sobre ela deve ser nula. Contudo, para um corpo extenso, essa condição é necessária, mas não suficiente. Como exemplo, a barra abaixo tende a girar no sentido horário com a aplicação de tais forças, apesar da resultante delas ser zero. Então, como se quantifica esse equilíbrio de rotação?

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O momento de uma força F com relação a um ponto O é definido como o produto da força pela distância entre O e a reta sobre a qual a força está aplicada. No caso geral:

$$ M = F \cdot d \cdot sen \theta $$

Como há o fator \(sen \theta \) na fórmula, somente a componente da força que seja perpendicular à distância considerada contribui para o torque. Porém, na maioria dos casos, a força já está aplicada, perpendicularmente, à distância considerada, de maneira que \(sen \theta = 1 \), e

$$ M = F \cdot d $$

A distância d é, frequentemente, chamada de braço da força, ou braço de alavanca.

OBS: Usando a notação de produto vetorial, pode-se escrever o Momento ou Torque como: 

Onde r é o vetor do ponto O até o ponto de aplicação da força, e F é a força.

De acordo com as Leis de Newton, um corpo está em equilíbrio se a força resultante é nula. Essa condição é definida como o equilíbrio de translação. Entretanto, para que um corpo extenso possa estar em equilíbrio, é necessário que seja satisfeito o equilíbrio de rotação, isto é, que o momento resultante (em relação a qualquer ponto) seja nulo.

Para isso, é conveniente estabelecer um sentido de momento (anti-horário, por exemplo) como positivo, e o outro (nesse caso, o horário) como negativo, e então igualar sua soma a zero. Outra maneira de resolver os problemas é fazer \(M_{horário}\) = \(M_{anti-horário}\).

Em problemas de equilíbrio de corpos extensos, ambas as condições de equilíbrio devem ser aplicadas para determinar as forças. Considere, por exemplo, um caminhão de massa 5,6 toneladas (5600 kg) apoiado sobre suas rodas, como na figura abaixo. 

Pede-se para que seja determinada a soma das forças nas rodas traseiras e, também, nas rodas dianteiras, sabendo que o sistema está em equilíbrio.

Resolução: Primeiramente, é necessário completar o diagrama de corpo livre, ou seja, marcar todas as forças que atuam sobre o caminhão.

$$ P \cdot 4 - F_{2} \cdot 7 = 0  \qquad \xrightarrow{} \qquad 7 \cdot F_{2} = 4 \cdot 5600 \cdot g $$

$$ F_{2} = \frac{4 cdot 5600 \cdot 10}{7}  \qquad \xrightarrow{} \qquad F_{2} = 32000 \quad N $$

Para calcular a força nas rodas traseiras, poderia-se calcular o momento em relação ao eixo dianteiro e igualá-lo a zero, ou ainda o momento em relação a qualquer ponto. Todavia, é mais simples utilizar a condição de equilíbrio de que a força resultante é nula. Portanto:

$$ Equilíbrio \xrightarrow{} F_{R} = 0  \qquad \xrightarrow{} \qquad F_{1} + F_{2} = P $$

$$ F_{1} + 32000 = 5600 \cdot 10  \qquad \xrightarrow{} \qquad F_{1} = 24000 \quad N $$

Apesar de ter sido utilizada a condição de equilíbrio de translação, ambas devem ser satisfeitas. Assim, pode-se, ainda, calcular o momento em relação a algum ponto, já com todas as forças conhecidas, a fim de verificar se a resposta encontrada é coerente.

OBS: Vale notar que, inicialmente, quando a força nas rodas traseiras não era de interesse, calculou-se o momento em relação ao ponto em que ela está aplicada. Como estratégia de resolução, sempre que não estamos interessados em uma força, calculamos o momento em relação ao ponto em que ela está aplicada, pois, desta maneira, essa força não entra na conta (a distância d na fórmula é zero!). 

No problema anterior, o peso do caminhão está atuando a uma distância conhecida de cada eixo. Mas o que determina essa distância? 

O ponto onde toda a massa está, hipoteticamente, concentrada, é conhecido como centro de massa (CM), e muitas vezes é chamado de centro de gravidade (CG). O centro de massa é esse ponto teórico que se comporta como uma partícula que tem concentrada em si toda a massa do corpo. Assim, caso seja necessário suspender ou levantar o corpo por somente um ponto, isso deverá ser feito pelo centro de massa, para que haja equilíbrio, pois os momentos em torno do centro de massa se anulam.

Portanto, ao fazer o diagrama de corpo livre, a força peso deve ser assinalada no centro de massa do corpo extenso.

O centro de gravidade é o ponto no qual, hipoteticamente, o campo gravitacional concentra sua atuação sobre o corpo. Como em todos os problemas de mecânica os corpos estão sujeitos a um campo gravitacional uniforme, o centro de gravidade coincide com o centro de massa. A diferença entre eles seria considerada se o corpo fosse muito extenso, a ponto de estar sujeito a diferentes acelerações da gravidade em cada ponto de sua extensão.

Centro de massa de um corpo extenso homogêneo

Para um corpo homogêneo, isto é, que tem a massa distribuída uniformemente em sua extensão, o centro de massa coincide com o centro geométrico, ou centróide, do corpo.

Exemplos disso são chapas poligonais. Uma chapa feita inteiramente do mesmo material e de mesma espessura será homogênea (distribuição uniforme de massa). No caso de uma chapa retangular, o centro de massa estará no encontro das diagonais. Se for triangular, estará no baricentro do triângulo. Em ambos exemplos, o CM coincide ainda com o CG.

Ao suspender a chapa retangular, deve-se fazê-lo pela direção do centro de massa. Do contrário, ela gira, tendendo a deixar a força exercida na mesma reta vertical em que está a força peso. Essa experiência pode ser feita, por exemplo, segurando um caderno!

Centro de massa de um sistema de partículas

Os exemplos já vistos tratam de corpos extensos, mas o conceito de centro de massa também é aplicável a um sistema composto por várias partículas. Nesse caso, é conveniente estabelecer um plano cartesiano (x-y). A posição do CM será uma média ponderada das posições de cada partícula.

$$ x_{CM} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3} + m_{4} x_{4} + m_{5} x_{5} }{m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4} + m_{5}} $$

$$ y_{CM} = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + m_{3} y_{3} + m_{4} y_{4} + m_{5} y_{5} }{m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4} + m_{5}} $$

Para facilitar as contas, seria mais prático se a origem dos eixos coincidisse com a posição de alguma das partículas, pois, então, suas coordenadas seriam nulas.

Vale notar que o centro de massa, por ser um ponto hipotético, não precisa coincidir com a posição de nenhuma das partículas. Isso também é válido para alguns corpos rígidos, como um anel (cujo CM está em seu centro), ou para corpos rígidos com formas não regulares, que devem ser decompostos em formas mais simples, as quais serão, posteriormente, tratadas como um sistema de partículas.

Exemplo: Determine a posição do centro de massa da figura abaixo, sabendo que cada corpo é homogêneo. 

Pela simetria do problema, é mais prático estabelecer a origem dos eixos no meio, de maneira que \(x_{CM}\) será zero. Como cada retângulo é uma figura homogênea simples, é fácil determinar o CM de cada um deles:

Então, tratando cada corpo como uma partícula, cujas posições dos centros de massa são conhecidas:

$$ x_{CM} = \frac{10 \cdot(-2) + 10 \cdot 2 + 5 \cdot 0 }{ 10 + 10 + 5}  \qquad \xrightarrow{} \qquad x_{CM} = 0 $$

$$ y_{CM} = \frac{10 \cdot 2,5 + 10 \cdot 2,5 + 5 \cdot 5,5 }{10 + 10 + 5}  \qquad  \xrightarrow{} \qquad y_{CM} = \frac{ 77,5 }{ 25 } $$

$$ y_{CM} = 3,1  m $$

Alavancas são máquinas simples, compostas por um ponto fixo (fulcro, ou ponto de apoio), uma força potente e uma força resistente. Seu objetivo, de forma geral, é obter uma vantagem mecânica para realizar força.

A distância de uma força até o ponto de apoio é comumente chamada de braço da alavanca. Suas aplicações cotidianas são muito variadas. As alavancas são divididas em:

Interfixa

Nesse tipo de alavanca, o ponto fixo está localizado entre a força potente e a força resistente. Um exemplo dessa alavanca é uma gangorra ou um alicate. 

Inter-resistente

Nesse caso, a força resistente está entre o ponto fixo e a força potente. Quebra-nozes ou um carrinho de mão são exemplos de alavanca inter-resistente.

Interpotente

Por último, há alavancas nas quais a força potente está entre o ponto fixo e a força resistente. A pinça pode ser considerada um exemplo desse tipo de alavanca.