Análise Combinatória

Análise combinatória é a parte da Matemática que estuda problemas de contagem, ou seja, problemas nos quais o que há de ser determinado é o número de possibilidades para uma determinada situação-problema.

É muito utilizada quando se trata de probabilidade, pois permite contar tanto os casos favoráveis quanto os possíveis em muitas situações.

De início, é preciso entender o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), para então começar a particularizar casos.

O Princípio Fundamental da Contagem, ou princípio multiplicativo, diz que quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, a contagem final do evento é dada pelo produto da contagem das etapas.

Exemplo 1

Em uma festa, dois grupos de amigos se encontram. O primeiro grupo de amigos é composto por 7 pessoas, e o segundo, por 9. Quando os grupos se avistaram, cada integrante do primeiro grupo cumprimentou cada integrante do segundo exatamente uma vez. Quantos cumprimentos ocorreram?

Solução

Para iniciar, chamemos os grupos de A e B.

• Grupo A: 7 pessoas
• Grupo B: 9 pessoas

Como cada um dos integrantes do grupo A deve cumprimentar uma única vez cada integrante do Grupo B, a situação que poderia ser descrita é: uma pessoa sai do Grupo A em direção ao B e cumprimenta 9 pessoas, retorna ao grupo, outra pessoa sai do grupo e repete o processo, e assim sucessivamente até que todos os integrantes do grupo A tenham feito isso.

Ou seja, o número de cumprimentos que acontecerá será a multiplicação do número de integrantes de A  pelo número de integrantes de B, bem como enuncia o Princípio Multiplicativo. Dessa forma, são 63 cumprimentos que acontecem.

Exemplo 2

Quantos são os números naturais de 3 algarismos?

Solução

Suponha o número natural abc, em que a, b e c representam, respectivamente, centenas, dezenas e unidades.

Para que esse número tenha realmente três algarismos, é necessário que “a” seja diferente de zero. Para as outras casas, não há nenhuma restrição, portanto, podem variar de 0 a 9. Então, para “a” existem 9 possibilidades, para “b” e “c” existem 10 possibilidades.

Pelo princípio multiplicativo, o número de casos para um número de três algarismos é 900, o produto dos valores encontrados acima.

O Princípio Fundamental da Contagem pode ser aplicado em diversos casos, mas, com o aumento da complexidade dos problemas, seria muito trabalhoso se apoiar apenas neste método.

Por isso, problemas com características bem determinadas definem três tipos básicos de grupos:

• Arranjos (simples ou com repetição)
• Permutações (simples ou com repetição)
• Combinações (simples ou com repetição)

A seguir, serão brevemente definidos cada um desses agrupamentos em sua forma simples - sem repetição de elementos.

Arranjos simples

No arranjo, a ordem e a natureza dos elementos escolhidos importa, ou seja, um arranjo pode conter os mesmos elementos que outro, mas com outra ordenação.

Para obter o arranjo simples de n elementos tomados p a p, utiliza-se a seguinte fórmula:

Permutações simples

Na permutação, o agrupamento é ordenado e todos os elementos são usados e permutados. A permutação é um caso especial do arranjo, em que o número de escolhidos é igual ao número de disponíveis.

Portanto:

Combinações simples

A combinação é um arranjo em que a ordem dos elementos não importa.

Para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p, utiliza-se a seguinte fórmula: