Arcos e ângulos

Dados dois pontos \(A\) e \(B\) em uma circunferência, tomemos um terceiro ponto entre eles denotado por \(P\):

E um quarto ponto \(P’\):

Observe que a circunferência fica dividida em duas regiões: aquela de \(A\) até \(B\) que contém \(P\); e a outra de \(A\) até \(B\) que contém \(P’\):

A tais regiões damos os nomes de arcos da circunferência. Neste caso, temos os arcos \(APB\) e \(AP’B\). Os pontos \(A\) e \(B\) são os extremos do arco.

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Há duas maneiras de se medir um arco: usando graus ou radianos.

Medida em graus

Ao dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais, teremos 360 arcos. Cada arco, neste caso, tem 1º.

Deste modo, uma circunferência inteira tem 360º e, meia circunferência, 180º.

Medida em radianos

Chamamos de comprimento de arco a medida do “segmento” \(AB\) destacado na figura abaixo, que supomos medir \(\ell\).

Se em uma circunferência de raio \(R\) tivermos um arco cuja medida do seu comprimento também seja \(R\), isto é, \(\ell=R\), então dizemos que o tal arco mede 1 rad.

Deste modo, podemos mostrar (usando a fórmula do comprimento de uma circunferência), que a medida em radianos de uma circunferência é \(2\pi\) rad. E, portanto, de meia circunferência, \(\pi\) rad.

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Graus x radianos

Para converter graus em radianos ou vice-versa, basta usarmos o fato de que:

$$180º\leftrightarrow\pi rad$$

Por exemplo, 30º em radianos se dá pela seguinte regra de 3:

$$\begin{array}{rcl} 180º & - & \pi \\ 30º & - & x\end{array}\Rightarrow 180x=30\pi$$

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$$x=\frac{30\pi}{180}\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}rad$$