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Índice
Introdução
Considere uma circunferência em um plano e um ponto fora dele:
Ao tomarmos todos os segmentos de retas com uma das extremidades no ponto fora do plano ilustrado acima, e a outra num ponto da circunferência, formamos um sólido que chamamos de cone.
O ponto fora do plano é chamado de vértice do cone, enquanto que a sua circunferência é definida com a base do cone. Além disso, o segmento de reta que une o vértice ao centro do cone é chamado de eixo do cone.
E por fim, a altura de um cone é a menor distância entre o plano da base e seu vértice.
Com isso, temos as seguintes classificações:
- Cone oblíquo: é aquele cuja altura não é paralela ao eixo:
- Cone reto: é aquele cuja altura é paralela ao eixo.
Os segmentos de retas que unem os pontos da base ao vértice do cone são ditos as suas geratrizes. Tal nome vem do fato de que uma das maneiras de construir um cone se dá através de um sólido de revolução: ou seja, ao rotacionarmos um segmento de reta em torno de si, obtemos um cone:
Principais conclusões
- Cone é o sólido formado pelos segmentos que ligam um ponto externo ao plano (vértice) a todos os pontos de uma circunferência nesse plano; essa circunferência é a base e o segmento do vértice ao centro define o eixo do cone.
- As geratrizes são os segmentos que unem pontos da base ao vértice; a altura é a menor distância entre vértice e plano da base; em cone reto a altura é paralela ao eixo e vale g² = h² + r² relacionando geratriz, altura e raio.
- Termo geratriz surge do processo de construção por sólido de revolução, rotacionando-se um segmento de reta para gerar a superfície cônica; essa visão explica como volumes e superfícies geométricas se obtêm por rotação.
- Em questões do ENEM confundem-se altura e eixo ou trocam g por h; erros comuns incluem esquecer o fator 1/3 no volume V = (1/3)·A_b·h, aplicar Pitágoras indevidamente ou negligenciar a consistência das unidades.
- Fórmulas essenciais incluem área lateral Aℓ = π r g, área total At = π r² + π r g e volume V = (1/3)·π r²·h; aplicam-se em projetos, engenharia e modelagem 3D para calcular materiais, capacidade e superfícies de objetos cônicos.
Cone reto
No caso de um cone reto, a geratriz, junto com a altura e o raio da base, formam os lados de um triângulo retângulo.
Assim, a partir do Teorema de Pitágoras, temos que:
$$g^{2}=h^{2}+r^{2}$$
E ainda, um cone reto é dito equilátero se a sua geratriz tiver a mesma medida do diâmetro da base, isto é
$$g=2r$$
Área lateral de um cone
A área lateral de um cone de raio da base igual a \(r\) e geratriz \(g\) é dada por
$$A_{\ell}=\pi r\cdot g$$
Área total de um cone
A área total de um cone é igual à soma da área da base (que é a área de um círculo de raio \(r\)) com a área lateral, isto é
$$A_{t}=A_{b}+A_{\ell}=\pi r^{2}+\pi r\cdot g$$
Volume de um cone
O volume de um cone é dado por
$$V=\frac{1}{3}A_{b}\cdot h$$
onde \(h\) é a medida de sua altura.
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Cone para vestibular
PUC-MG
Um monte de areia tem a forma de um cone circular reto, com volume \(V=4\pi\) m³. Se o raio da base é igual a dois terços da altura desse cone, pode-se afirmar que a medida da altura do monte de areia, em metros, é:
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