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Matemática

Cone

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 8/4/2019

Introdução

Considere uma circunferência em um plano e um ponto fora dele:

Ao tomarmos todos os segmentos de retas com uma das extremidades no ponto fora do plano ilustrado acima, e a outra num ponto da circunferência, formamos um sólido que chamamos de cone.

O ponto fora do plano é chamado de vértice do cone, enquanto que a sua circunferência é definida com a base do cone. Além disso, o segmento de reta que une o vértice ao centro do cone é chamado de eixo do cone.

E por fim, a altura de um cone é a menor distância entre o plano da base e seu vértice.

Com isso, temos as seguintes classificações:

  • Cone oblíquo: é aquele cuja altura não é paralela ao eixo:
  • Cone reto: é aquele cuja altura é paralela ao eixo.

Os segmentos de retas que unem os pontos da base ao vértice do cone são ditos as suas geratrizes. Tal nome vem do fato de que uma das maneiras de construir um cone se dá através de um sólido de revolução: ou seja, ao rotacionarmos um segmento de reta em torno de si, obtemos um cone:

Cone reto

No caso de um cone reto, a geratriz, junto com a altura e o raio da base, formam os lados de um triângulo retângulo.

Assim, a partir do Teorema de Pitágoras, temos que:

$$g^{2}=h^{2}+r^{2}$$

E ainda, um cone reto é dito equilátero se a sua geratriz tiver a mesma medida do diâmetro da base, isto é

$$g=2r$$

Área lateral de um cone

A área lateral de um cone de raio da base igual a \(r\) e geratriz \(g\) é dada por

$$A_{\ell}=\pi r\cdot g$$

Área total de um cone

A área total de um cone é igual à soma da área da base (que é a área de um círculo de raio \(r\)) com a área lateral, isto é

$$A_{t}=A_{b}+A_{\ell}=\pi r^{2}+\pi r\cdot g$$

Volume de um cone

O volume de um cone é dado por

$$V=\frac{1}{3}A_{b}\cdot h$$

onde \(h\) é a medida de sua altura.

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(PUC-MG)

Um monte de areia tem a forma de um cone circular reto, com volume \(V=4\pi\) m³. Se o raio da base é igual a dois terços da altura desse cone, pode-se afirmar que a medida da altura do monte de areia, em metros, é:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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