O estudo de conjuntos faz parte da base da Matemática e por isso é necessário que admitamos como existentes os seguintes conceitos primitivos:
Alguns exemplos de conjuntos possíveis seriam:
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Conjuntos são geralmente expressos por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Para descrevermos um conjunto podemos explicitar todos os seus elementos entre chaves ou podemos definir uma propriedade que todos os elementos do conjunto seguem. Exemplo:
Obs.: A barra vertical | nesse contexto pode ser lida como tal que.
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Podemos relacionar um elemento e um conjunto através da relação de pertinência, ou seja, se \(\chi\) faz parte do conjunto A dizemos que \(x \epsilon A\) (lê-se x pertence a A). Se um elemento y não pertence ao conjunto A, escrevemos \(y \notin A\).
Graficamente, a pertinência é representada por um ponto no interior de uma curva fechada no plano. Esse tipo de representação é conhecida como diagrama de Venn.
Exemplo: Se \(A={1,2,3}\),, temos que \(2 \epsilon A e 7 \notin A\)
Podemos relacionar um conjunto com outro através da relação de continência, ou seja, se todo elemento do conjunto A está também no conjunto B, temos que \(A \subset B\) (A está contido em B). Nesse caso dizemos também que A é subconjunto de B.
Graficamente podemos representar isso por uma região do plano interna a outra região:
Exemplo: {1,4,7} \(\subset\) {1,2,3,4,5,6,7}.
Denominamos conjunto vazio o conjunto que não possui elementos. Ele é representado pelo símbolo \(\varnothing\)
O conjunto universo \(\cup\) representa o escopo em que estamos definindo um conjunto.
Por exemplo, seja A o conjunto dos números ímpares. Se o conjunto universo for o dos números naturais temos A = {1,3,5,7,9, ...}. Se o conjunto universo for o dos números inteiros temos A = {... -5,-3,-1,1,1,3,5 ....}.
Podemos dizer que dois conjuntos A e B são iguais quando para todo elemento \(x\epsilon A\) temos também que \(x\epsilon B\) e, ao mesmo tempo, temos que todo elemento y de B também pertence a A.
Observação: É importante notar que a ordem dos elementos na representação do conjunto não importa, logo {1,2,3,4} = {3,4,1,2}. Caso a ordem fosse considerada teríamos sequências.
A união entre conjuntos é a operação de juntar todos os elementos de dois conjuntos A e B e formar um novo conjunto denotado por \(A\). Se algum elemento estiver presente em ambos os conjuntos A e B ele é incluído apenas uma vez na união.
Exemplo: \(A = {2,3,5,7,11} B = {1,4,5,7}\to A\cup B = {1,2,3,4,5,7,11}\)
A interseção de A e B contém todos os elementos de A que também estão em B. Denota-se a interseção por \(A\cap B\).
Exemplos: \(A = {2,3,5,7,11}B = {1,4,5,7}\to A\cap B == {5,7}\)
Quando dois conjuntos não possuem interseção dizemos que eles são disjuntos e nesse caso \(A\cap B\varnothing\).
O conjunto complementar de um dado conjunto \(A\) é composto por todos os elementos no conjunto universo U que não pertencem a A. Esse conjunto é denotado por AC.
Exemplo: \(U = N; A = {1,3,5,7,9, ...}\to A^C = {0,2,4,6,8,10, ...}\)
Duas propriedades bastante úteis da complementaridade são as relações de De Morgan:
\((A\cup B)^C = A^C\cap B^C(A\cap B)^C = A^C\cup B^C\)
O conjunto diferença de A e B é composto por todos os elementos que pertencem a A e que não pertencem a B Esse conjunto é escrito como A-B ou A\B ,Pode-se ver graficamente que ele equivale a \(A\cap B^C\):
Exemplos: \(A = {2,3,5,7,11}B = {1,4,5,7}\to A - B = {2,3,11}\)
O conjunto das partes de A é a coleção de todos os subconjuntos do conjunto A. Por exemplo, se temos A = {x,y} o conjunto das partes de \(A\) é:
\(P9A0 = {\varnothing, {x},{x,y}}\)
SeB = {1,2,3}
Temos\( P(B) = {\varnothing,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}\).
Pode-se mostrar que o número de elementos do conjunto das partes de um conjunto A de n elementos é 2n.
Para mostrar isso, utilizamos o princípio fundamental da contagem, pois temos \(n\) elementos e duas possibilidades (escolhê-lo ou não para o subconjunto) para cada elemento, logo .
O número de elementos da união de dois conjuntos pode ser calculada por:
\(n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)\)
Devemos subtrair o número de elementos da interseção de A e B, pois eles foram contados duas vezes uma em n(A) e uma em n(B).
Para três conjuntos, temos:
\(n(A\cup B\cup C) - n(A) + n(B) + n(C) + - n(A\cap B) - n(A\cap C -n(B\cap C) + n(A\cap B\cap C)\)
Para calcular o número de elementos da união de mais de três conjuntos usa-se o princípio da inclusão-exclusão.
Alguns conjuntos numéricos são tão importantes que possuem símbolos especiais para designá-los. Eis alguns deles:
N= {1,2,3,4,5,6,7, ...}
(Observação: Pode ser definido sem 0)
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Q = \({\frac{x}{y};x,y \varepsilon Z, y\ne 0}\)
R.
Esse conjunto contém todos os números racionais e também todos os números irracionais que não podem ser escritos como fração de inteiros como \(\sqrt {2}\) e \(\pi\)
Conjunto dos números complexos
\(C = {a+b_i;a,b \varepsilon R}\)
Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte:
- têm casa própria: 38
- têm curso superior: 42
- têm plano de saúde: 70
- têm casa própria e plano de saúde: 34
- têm casa própria e curso superior: 17
- têm curso superior e plano de saúde: 24
- têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15
Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadram em nenhuma das situações anteriores? (Sugestão : utilize o diagrama de Venn para facilitar os cálculos)