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Matemática

Conjuntos

Kauê  Neves
Publicado por Kauê Neves
Última atualização: 19/10/2018

Introdução

O estudo de conjuntos faz parte da base da Matemática e por isso é necessário que admitamos como existentes os seguintes conceitos primitivos:

  • Conjunto: agrupamento de objetos distintos denominados elementos do conjunto.
  • Elemento: partes integrantes distintas que compõem o conjunto.
  • Pertinência entre elemento e conjunto: relação que associa o elemento ao conjunto.

Alguns exemplos de conjuntos possíveis seriam:

  • Conjunto dos números primos:{(2,3,5,7,11, ...}
  • Conjunto das letras do alfabeto: {a,b,c ...,z}
  • Conjunto dos vértices de um pentágono: {\(V_1,V_2,V_3,V_4,V_5\)}

Notação e Descrição de um conjunto

Conjuntos são geralmente expressos por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Para descrevermos um conjunto podemos explicitar todos os seus elementos entre chaves ou podemos definir uma propriedade que todos os elementos do conjunto seguem. Exemplo:

  • Por enumeração: A = {...,-4,-2,0,2,4, ...}; B = {5,6,7,8,9,10};
  • Por propriedade: A={y é múltiplo de 2}; B= {\(x é inteiro e 5 \leq x \leq 10\)};

Obs.: A barra vertical | nesse contexto pode ser lida como tal que.

Pertinência

Podemos relacionar um elemento e um conjunto através da relação de pertinência, ou seja, se \(\chi\) faz parte do conjunto A dizemos que \(x \epsilon A\) (lê-se x pertence a A). Se um elemento y não pertence ao conjunto A, escrevemos \(y \notin A\).

Graficamente, a pertinência é representada por um ponto no interior de uma curva fechada no plano. Esse tipo de representação é conhecida como diagrama de Venn.


Exemplo: Se \(A={1,2,3}\),, temos que \(2 \epsilon A e 7 \notin A\) 

Continência

Podemos relacionar um conjunto com outro através da relação de continência, ou seja, se todo elemento do conjunto A está também no conjunto B, temos que \(A \subset B\) (A está contido em B). Nesse caso dizemos também que A é subconjunto de B.

Graficamente podemos representar isso por uma região do plano interna a outra região:

Exemplo: {1,4,7} \(\subset\) {1,2,3,4,5,6,7}.


Conjunto vazio

Denominamos conjunto vazio o conjunto que não possui elementos. Ele é representado pelo símbolo \(\varnothing\)

Conjunto Universo

O conjunto universo \(\cup\) representa o escopo em que estamos definindo um conjunto.

Por exemplo, seja A o conjunto dos números ímpares. Se o conjunto universo for o dos números naturais temos A = {1,3,5,7,9, ...}. Se o conjunto universo for o dos números inteiros temos A = {... -5,-3,-1,1,1,3,5 ....}.

Igualdade de conjuntos

Podemos dizer que dois conjuntos A e B são iguais quando para todo elemento \(x\epsilon A\) temos também que \(x\epsilon B\) e, ao mesmo tempo, temos que todo elemento y de B também pertence a A.

Observação: É importante notar que a ordem dos elementos na representação do conjunto não importa, logo {1,2,3,4} = {3,4,1,2}. Caso a ordem fosse considerada teríamos sequências.

Operações entre conjuntos 

União

A união entre conjuntos é a operação de juntar todos os elementos de dois conjuntos A e B e formar um novo conjunto denotado por \(A\). Se algum elemento estiver presente em ambos os conjuntos A e B ele é incluído apenas uma vez na união.


Exemplo: \(A = {2,3,5,7,11} B = {1,4,5,7}\to A\cup B = {1,2,3,4,5,7,11}\)

Interseção

A interseção de A e B contém todos os elementos de A que também estão em B. Denota-se a interseção por \(A\cap B\).


Exemplos: \(A = {2,3,5,7,11}B = {1,4,5,7}\to A\cap B == {5,7}\)

Quando dois conjuntos não possuem interseção dizemos que eles são disjuntos e nesse caso \(A\cap B\varnothing\).

Complementar

O conjunto complementar de um dado conjunto \(A\)  é composto por todos os elementos no conjunto universo U que não pertencem a A. Esse conjunto é denotado por AC.


Exemplo: \(U = N; A = {1,3,5,7,9, ...}\to A^C = {0,2,4,6,8,10, ...}\)

Duas propriedades bastante úteis da complementaridade são as relações de De Morgan:

\((A\cup B)^C = A^C\cap B^C(A\cap B)^C = A^C\cup B^C\)

Diferença

O conjunto diferença de A e B é composto por todos os elementos que pertencem a A e que não pertencem a B Esse conjunto é escrito como A-B ou A\B ,Pode-se ver graficamente que ele equivale a \(A\cap B^C\):


Exemplos: \(A = {2,3,5,7,11}B = {1,4,5,7}\to A - B = {2,3,11}\)

Conjunto das partes

O conjunto das partes de A é a coleção de todos os subconjuntos do conjunto A. Por exemplo, se temos A = {x,y} o conjunto das partes de \(A\) é:

\(P9A0 = {\varnothing, {x},{x,y}}\)

SeB = {1,2,3}

Temos\( P(B) = {\varnothing,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}\).

Pode-se mostrar que o número de elementos do conjunto das partes de um conjunto A de n elementos é 2n.

Para mostrar isso, utilizamos o princípio fundamental da contagem, pois temos \(n\) elementos e duas possibilidades (escolhê-lo ou não para o subconjunto) para cada elemento, logo .

Número de elementos da união de conjuntos

O número de elementos da união de dois conjuntos pode ser calculada por:

\(n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)\)

Devemos subtrair o número de elementos da interseção de A e B, pois eles foram contados duas vezes uma em n(A) e uma em n(B).

Para três conjuntos, temos:

\(n(A\cup B\cup C) - n(A) + n(B) + n(C) + - n(A\cap B) - n(A\cap C -n(B\cap C) + n(A\cap B\cap C)\)

Para calcular o número de elementos da união de mais de três conjuntos usa-se o princípio da inclusão-exclusão.

Conjuntos importantes

Alguns conjuntos numéricos são tão importantes que possuem símbolos especiais para designá-los. Eis alguns deles:

Conjuntos dos números naturais

N= {1,2,3,4,5,6,7, ...}
 (Observação: Pode ser definido sem 0)

Conjunto dos números inteiros

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Conjuntos dos números racionais

Q = \({\frac{x}{y};x,y \varepsilon Z, y\ne 0}\)

Conjunto dos números reais

R.

Esse conjunto contém todos os números racionais e também todos os números irracionais que não podem ser escritos como fração de inteiros como

  \(\sqrt {2}\) e \(\pi\)

Conjunto dos números complexos

\(C = {a+b_i;a,b \varepsilon R}\)


Exercícios

Exercício 1
(PUC-PR/2003)

Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte:

 - têm casa própria: 38
  - têm curso superior: 42
  - têm plano de saúde: 70
  - têm casa própria e plano de saúde: 34
  - têm casa própria e curso superior: 17
  - têm curso superior e plano de saúde: 24
  - têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15

Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadram em nenhuma das situações anteriores? (Sugestão : utilize o diagrama de Venn para facilitar os cálculos)

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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