Matemática
Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos
Publicado por Marcus Vinicius | Última atualização: 19/6/2025
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Índice
Introdução
Dados dois números reais \(a\) e \(b\), o cubo da soma entre eles
$$(a+b)^{3}$$
é dado por
$$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$$
Por exemplo, o desenvolvimento de
$$(x+2)^{3}$$
é
$$x^{3}+3\cdot x^{2}\cdot2+3\cdot x\cdot2^{2}+2^{3}=x^{3}+3\cdot x^{2}\cdot2+3\cdot x\cdot4+8$$
ou seja
$$(x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8$$
Do mesmo modo, o cubo da diferença
$$(a-b)^{3}$$
vale
$$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$$
Assim, ao calcularmos, como exemplo
$$(4-t)^{3}$$
obtemos
$$4^{3}-3\cdot4^{2}\cdot t+3\cdot4\cdot t^{2}-t^{3}$$
$$\Rightarrow(4-t)^{3}=64-48t+12t^{2}-t^{3}$$
Principais conclusões
- (a+b)^3 é o cubo da soma de dois termos; seu desenvolvimento é a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. Para a diferença, (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3. Essas fórmulas permitem expandir potências cúbicas de binômios rapidamente.
- A mecânica usa os coeficientes binomiais 1,3,3,1: multiplicando (a+b) três vezes ou aplicando o teorema do binômio obtêm-se os termos a^3, 3a^2b, 3ab^2 e b^3; na diferença os sinais alternam conforme o sinal do segundo termo.
- Contexto histórico-científico: as fórmulas derivam do teorema do binômio e do triângulo de Pascal, conectando combinatória e álgebra; servem para manipular polinômios, simplificar expressões e preparar estudos em análise e séries.
- Foco ENEM: erro comum é esquecer os coeficientes 3 ou inverter sinais em (a-b)^3; reconhecer e aplicar o padrão agiliza resolução de questões interdisciplinares que envolvem modelagem, física, química e estimativas algébricas.
- Relevância prática: dominar o cubo da soma e da diferença acelera cálculos mentais e algébricos, facilita simplificação de equações e aproximações em engenharia, ciências e programação simbólica, reduzindo tempo em provas e exercícios.
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos para vestibular
FUVEST
A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
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