Decomposição em Fatores Primos | Como Decompor um Número

O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todo número natural maior que 1 pode ser escrito como produto de números primos, ou seja, é possível decompor em fatores primos.

Temos como exemplo:

• \(24=2\cdot2\cdot2\cdot3\)
• \(200=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\)
• \(735=3\cdot5\cdot7\cdot7\)

Tal decomposição é única (a menos da ordem dos fatores) e, além disso, é muito útil na extração de raízes, MDC e MMC.

Vamos apresentar um modo simples e prático para determinar a decomposição de um número em fatores primos através de um exemplo. Para isso, iremos decompor o número 108.

• Escreve o número 108 e, ao lado direito dele, traça-se uma reta vertical:

$$\begin{array}{c|c} 108 & \\        & \\        & \\        & \\        & \\        & \end{array}$$

• Ao lado direito da reta, iremos colocar os números primos que dividem 108. O ideal é sempre começar pelo menor possível. Como 108 é par, então o primeiro número primo que o divide é 2:

$$\begin{array}{c|c} 108 & 2 \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}$$

• Em seguida, faz-se a divisão de 108 por 2, que dá 54. O resultado colocamos embaixo do 108:

$$\begin{array}{c|c} 108 & 2 \\ 54 & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}$$

• Agora, iremos verificar qual o menor número primo que divide 54 e fazemos o mesmo processo:

$$\begin{array}{c|c} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}$$

• Sendo 54 dividido por 2 igual a 27, cujo menor número primo que o divide é 3. Assim temos:

$$\begin{array}{c|c} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ & \\ & \\ & \end{array}$$

• E repetimos o mesmo processo até obtermos 1 no lado esquerdo da reta:

$$\begin{array}{c|c} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$$

Assim, a decomposição de 108 em fatores primos é:

$$108=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3$$

Em forma de potência, pode ser reescrito como:

$$108=2^{2}\cdot3^{3}$$

Os critérios de divisibilidade são regras que nos dizem quando um determinado número é divisível por outro sem precisar fazer a conta. Tais critérios auxiliam bastante na decomposição de um número em fatores primos, pois, através delas, já podemos eliminar se tal número será divisível (ou não) por um fator primo.

• Divisibilidade por 2: um número será divisível por 2 se ele for par, isto é, se o último algarismo for 0, 2, 4, 6 ou 8. Por exemplo, 2340 e 558 são divisíveis por 2; já 9801 e 8347 não são.
• Divisibilidade por 3: um número será divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3. Como exemplo, temos que 2442 é divisível por 3 pois $$2+4+4+2=12$$ e 12 é divisível por 3. Agora, 1003 não é divisível por 3 visto que
  $$1+0+0+3=4$$ e 4 não é divisível por 3.
• Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 se o seu último algarismo for 0 ou 5. Por exemplo, 1240 é divisível por 5, assim 995. Já o mesmo não ocorre com 7343.