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Índice
Introdução
A desigualdade triangular nos diz quando um conjunto de três números podem ser medidas dos lados de um triângulo. Ou seja, é a condição de existência de um triângulo.
Consideremos então um triângulo \(ABC\) conforme a figura abaixo:
A desigualdade triangular nos diz que a medida de um lado sempre tem que ser menor que a soma das medidas dos outros dois, isto é:
$$\left\{\begin{array}{l} AB<AC+BC \\ AC<AB+BC \\ BC<AB+AC \end{array}\right.$$
De modo mais geral, se as medidas dos lados de um triângulo forem \(a,b\) e \(c\), então necessariamente:
Por exemplo, os números 4, 7 e 8 podem ser as medidas do lado de um triângulo, pois:
Porém, não podemos construir um retângulo de lados 5, 2 e 1, pois:
$$5\nless2+1=3$$
Principais conclusões
- A desigualdade triangular afirma que três números representam medidas de lados de um triângulo apenas quando cada um é menor que a soma dos outros dois; é a condição de existência que valida conjuntos de comprimentos.
- Funciona exigindo as três desigualdades: AB < AC+BC, AC < AB+BC e BC < AB+AC; de modo geral, para lados a, b, c é necessário que cada um seja menor que a soma dos outros dois, testando todas as combinações.
- No contexto geométrico, serve como princípio básico de existência de triângulos e aparece em demonstrações e problemas de álgebra e geometria; é ferramenta teórica que garante que três segmentos podem formar uma figura fechada.
- Em provas como o ENEM, é comum erro ao checar só uma desigualdade ou confundir igualdade com validade; verifique as três condições, evite assumir solução por inspeção e relacione o conceito com trigonometria e geometria analítica.
- Permite decidir rapidamente se três segmentos formam um triângulo, simplificar raciocínios geométricos e gerar contraexemplos; na prática ajuda em resolução de exercícios, validação de medidas e modelagem básica de problemas geométricos.
Fórmulas
Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
Exercício de fixação
Exercícios sobre Desigualdade triangular para vestibular
PUC-MG
É incorreto afirmar:
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