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Índice
Introdução
As diagonais de um polígono são os segmentos de reta cujas extremidades são dois vértices não-consecutivos.
Nas figuras abaixo, destacamos algumas diagonais de, respectivamente, um quadrilátero, pentágono, hexágono e um octógono.
Principais conclusões
- Diagonais de um polígono são os segmentos de reta cujas extremidades são dois vértices não-consecutivos; diferenciam-se dos lados por ligarem vértices não adjacentes, como em quadriláteros, pentágonos, hexágonos etc.
- Conta-se o número de diagonais pela fórmula d = n·(n−3)/2, que relaciona d ao número n de lados; por exemplo, hexágono: n=6 ⇒ d = 6·(6−3)/2 = 9; triângulo: n=3 ⇒ d = 0.
- A expressão obtém-se pela teoria de combinação em análise combinatória, tratando-se de pares de vértices que não formam lados; a relação integra geometria plana e combinatória e vale para polígonos convexos.
- No ENEM, erro frequente é contar lados como diagonais ou aplicar a fórmula sem checar convexidade; vincule o tema a combinatória e visualização espacial para evitar confusão e resolver questões interdisciplinares.
- Identificar e calcular diagonais agiliza contagens e análises da estrutura interna dos polígonos em provas; a fórmula d = n(n−3)/2 fornece resposta direta e facilita verificação rápida de alternativas.
Número de diagonais de um polígono
O número de diagonais de um polígono está diretamente ligado ao seu número de lados. É possível mostrar (através da teoria de combinação em análise combinatória) que se \(d\) for o quantidade de diagonais e \(n\), de lados, então:
$$d=\frac{n\cdot(n-3)}{2}$$
Por exemplo, tomando-se um hexágono, temos que \(n=6\), deste modo:
$$d=\frac{6\cdot(6-3)}{2}=\frac{6}\cdot3}{2}=\frac{18}{2}$$
$$\Rightarrow d=9$$
Na figura a seguir, temos ilustradas as 9 diagonais de um hexágono:
Se o polígono for um triângulo, isto é, \(n=3\), então o número de diagonais será:
$$d=\frac{3\cdot(3-3)}{2}=\frac{3}\cdot0}{2}=\frac{0}{2}$$
$$\Rightarrow d=0$$
Evidentemente, tal fórmula do número de diagonais é válida para polígonos convexos, podendo eles ser regulares ou não.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Diagonais de um polígono para vestibular
UFRGS
O número de diagonais de um polígono é o dobro de seu número \(n\) de lados. O valor de \(n\) é:
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