Diferença de quadrados

A diferença de quadrados é uma das principais maneiras de se fatorar uma expressão algébrica. Como o próprio nome diz, ela é aplicada em uma diferença, isto é, existir uma operação de subtração entre dois termos que estão elevados ao quadrado.

Tal processo de fatoração também é um dos mais simples de se efetuar. E, em geral, ele é aplicado na diferença de dois termos. Porém, é importante ressaltar que há alguns casos mais específicos, nos quais podemos ter três ou mais termos que, a partir de uma manipulação algébrica, podem ser transformados em dois termos para que seja possível fatorá-los pelo método propriamente dito.

Por exemplo, para fatorar

$$x^{2}-4$$

o processo se dá do seguinte modo:

• Extrai-se a raiz quadrada dos termos da expressão:
  $$\sqrt{x^{2}}=x$$
  $$\sqrt{4}=2$$
• A partir dos valores obtidos no passo anterior, escrevemos a expressão como um produto da soma pela diferença entre eles, isto é:

$$x^{2}-4=(x+2)\cdot(x-2)$$
e está fatorada a expressão.

Ou seja, em um caso mais geral, a fatoração por diferença de quadrados da expressão

$$x^{2}-y^{2}$$

é

$$(x+y)\cdot(x-y)$$

ou seja

$$x^{2}-y^{2}=(x+y)\cdot(x-y)$$

Se formos assim fatorar, por exemplo

$$25-a^{2}$$

basta tirarmos a raiz quadrada de cada termo

$$\sqrt{25}=5$$

$$\sqrt{a^{2}}=a$$

e escrevermos o produto da soma pela diferença dos valores encontrados anteriormente:

$$25-a^{2}=(5+a)\cdot(5-a)$$

É evidente que a ordem dos fatores não importa. Ou seja, podemos escrever tanto produto da soma pela diferença quanto produto da diferença pela soma, isto é: a fatoração, por exemplo de

$$t^{2}-100$$

pode ser escrita como

$$(t+10)\cdot(t-10)$$

ou

$$(t-10)\cdot(t+10)$$