Distância entre dois pontos

Considere dois pontos como ilustrados a seguir:

a menor distância entre eles é o segmento de reta com extremidades em \(A\) e \(B\):

e através do Teorema de Pitágoras, podemos mostrar que tal distância é dada pela seguinte expressão:

$$d=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}$$

Por exemplo, vamos supor que \(A(1,4)\) e \(B(-3,7)\), então

$$d=\sqrt{(1-(-3))^{2}+(4-7)^{2}}=\sqrt{(1+3)^{2}+(-3)^{2}}\Rightarrow d=\sqrt{16+9}$$

ou seja

$$d=\sqrt{25}=5$$

Tomemos agora os pontos \(A(0,3)\) e \(B(-1,4\); a distância entre eles será

$$d=\sqrt{(0-(-1))^{2}+(3-4)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}\Rightarrow d=\sqrt{2}$$

Dizemos que um ponto \(A\) é equidistante de \(B\) e de \(C\) se a distância de \(A\) até \(B\) for a mesma distância de \(A\) até \(C\), ou seja

$$d_{AB}=d_{AC}$$

Então suponha que temos um ponto \(A(k,0)\) do eixo das abscissas que é equidistante de \(B(1,2)\) e de \(C(3,1)\). Para determinar o valor de \(k\), basta usarmos a definição de equidistância:

$$d_{AB}=d_{AC}$$

ou seja

$$\sqrt{(k-1)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{(k-3)^{2}+(0-1)^{2}}$$

desenvolvendo-se os produtos notáveis acima e elevando cada lado da igualdade ao quadrado para eliminar-se as raízes, obtemos:

$$k^{2}-2k+5=k^{2}-6k+10\Rightarrow6k-2k=10-5$$

ou seja, basta resolver a equação do 1º grau acima:

$$4k=5\Rightarrow k=\frac{5}{4}$$