Divisão de Polinômios

A divisão de polinômios se dá pelo método das chaves. Se \(p(x)\) for um polinômio que será dividido por \(d(x)\), então:

$$p(x)=d(x)\cdot q(x)+r(x)$$

$$r(x)< d(x)$$

De modo que:

• \(p(x)\) é o dividendo;
• \(d(x)\) é o divisor;
• \(q(x)\) é o quociente;
• \(r(x)\) é o resto.

Ou seja, o grau do resto é sempre estritamente menor que o grau do divisor.

A ideia principal da divisão de polinômios consiste em sempre dividir o primeiro termo do lado esquerdo da chave pelo primeiro termo do lado direito.

A fim de se ter uma melhor compreensão, iremos explicar o processo através de um exemplo feito passo a passo.

Para isso, considere os polinômios:

• $$p(x)=4x^{4}-5x^{3}+2x^{2}-3x+8$$
• $$d(x)=x^{2}-2x+1$$

Façamos a divisão de \(p(x)\) por \(d(x)\). Colocando-os no quadro de chaves, temos:

O primeiro passo é verificar se os polinômios estão completos. O grau de \(p\) é 4 e, claramente, visualizamos que \(p\) possui todos os termos de graus menores ou iguais a 4, isto é, \(x^{4},x^{3},x^{2},x\) e um número (que equivale a x^{0}\).

E, do mesmo modo, sendo 2 o grau de \(d\) vemos que ele possui todos os termos. Caso contrário, se um dos polinômios não fossem completos, deveríamos completar com zeros.

Feito isso, devemos dividir o primeiro termo do polinômio do lado esquerdo - que neste caso vale \(4x^{4}\) - pelo primeiro termo do polinômio do lado direito - ou seja, \(x^{2}\):

$$4x^{4}\div x^{2}=4x^{2}$$

Colocamos o resultado da divisão acima embaixo da chave:

Seguindo a mesma ideia de divisão entre números, iremos multiplicar \(4x^{2}\) por cada termo de \(d(x)\), e o resultado passaremos para o lado esquerdo, trocando de sinal.

Ou seja, inicialmente temos:

$$4x^{2}\cdot x^{2}=4x^{4}$$

Como deu positivo, passamos para o outro lado, negativo:

Do mesmo modo, multiplicando pelo segundo termo de \(d(x)\):

$$4x^{2}\cdot(-2x)=-8x^{3}$$

Sendo negativo, passará para o outro lado, positivo:

E, por fim, multiplicando pelo terceiro termo:

$$4x^{2}\cdot1=4x^{2}$$

Passamos, então, para o lado esquerdo como negativo:

Agora, fazemos a operação que foi gerada a partir dos cálculos anteriores com os termos de \(p(x)\). Isto é:

• $$4x^{4}-4x^{4}=0$$
• $$-5x^{3}+8x^{3}=3x^{3}$$
• $$2x^{2}-4x^{2}$$

E os outros dois termos que não foram usados, \(-3x\) e \(8\), simplesmente os trazemos para baixo:

Feito isto, procedemos do mesmo modo: dividimos o primeiro termo do “novo” polinômio do lado esquerdo - neste caso \(3x^{3}\) - pelo primeiro termo de \(d\):

$$3x^{3}\div x^{2}=3x$$

Colocamos o resultado embaixo das chaves:

Multiplicando agora \(3x\) por cada termo de \(d(x)\) e passando para o outro lado com sinal trocado, adquirimos a seguinte configuração:

Então, baixamos o \(8\):

Por fim, dividimos agora o primeiro termo do polinômio à esquerda, que está sendo trabalhado pelo primeiro de \(d\):

$$4x^{2}\div x^{2}=4$$

Inserimos, mais uma vez, o resultado embaixo das chaves:

Ao multiplicar \(4\) pelos termos do polinômio \(d(x)\), iremos ter:

Fazendo a operação, chegamos a:

Note que obtemos, por fim:

$$2x-4$$

O grau vale 1, o qual é menor que o grau de \(d\), que vale 2; então terminamos o processo de divisão. Logo, na divisão entre:

• $$p(x)=4x^{4}-5x^{3}+2x^{2}-3x+8$$
• $$d(x)=x^{2}-2x+1$$

Obtemos como quociente:

$$q(x)=4x^{2}+3x+4$$

E resto:

$$r(x)=2x+4$$

Se o resto da divisão fosse igual a zero, então estaríamos diante de uma divisão exata.