Divisão de Polinômios - Briot Ruffini

O dispositivo prático de Briot Ruffini é um método de divisão entre um polinômio e um monômio do tipo \(x-a\).

O melhor jeito de entendê-lo é através de um exemplo. Para isso, iremos ilustrar com duas divisões.

Vamos dividir o polinômio \(P(x)=3x^{4}-5x^{3}+2x^{2}+3x-1\) pelo monômio \(x-2\).

1. Verificar se há todos os coeficientes com grau menor ou igual de \(P(x)\); se não houver, completar com zeros.

É evidente que no nosso exemplo,
$$P(x)=3x^{4}-5x^{3}+2x^{2}+3x-1$$
possui todos os coeficientes cujos termos têm graus menores que 4, que é o grau de \(P\).

2. Coloca-se, no quadro abaixo, os coeficientes em ordem decrescente. Os nossos coeficientes são: 3, -5, 2, 3 e 1. Obtemos então:

3. No lado direito do quadro, coloca-se o valor de \(a\) do binômio \(x-a\). Como nosso binômio é \(x-2\) então \(a=2\):

4. Copia-se o primeiro coeficiente, logo abaixo dele:

5. Multiplica-se o número da 2ª linha por \(a\) e, em seguida, soma-se o resultado com o próximo número da 1ª linha. O novo número da 2ª linha será o valor final dessa conta.

Multiplicando-se então 3 por 2, obtemos 6. Somando o resultado com -5, chegamos a 1. Tal número colocamos logo abaixo do 5:

6. Repete-se o passo anterior com o próximo número da 2ª linha até completá-la.

Temos que 1 vezes 2 vale 2. Somando o resultado com 2, chegamos a 4:

Repetindo o processo: 4 multiplicado por 2 resulta em 8 que somado com 3, dá 11:

E por fim, 11 vezes 2 é igual a 22 e, quando somamos com 1, obtemos 23:

7. O quociente da divisão terá sempre um grau menor que do dividendo. Os seus coeficientes são os números da 2ª linha, exceto pelo último, pois este é o resto da divisão.

Como nosso polinômio inicial tem grau 4, então o quociente terá 3 e seus coeficientes serão todos os números da 2ª linha, exceto o último:

$$q(x)=3x^{3}+1x^{2}+4x+11$$

E o resto da divisão é o último número:
$$r(x)=23$$

Vamos dividir agora \(P(x)=2x^{4}-5x+1\) por \(2x+6\).

Note que o coeficiente de \(x\) no binômio vale 2. Para aplicar o método do Briot-Ruffini, ele deve ser igual a 1. Para obtermos isso, iremos dividir cada termo do binômio por 2, chegando a:

$$x+3$$

E será esse que usaremos na divisão, com \(a=-3\).

Observe ainda que o polinômio \(P(x)\) não possui todos os coeficientes. Completamos, então, com zeros:

$$P(x)=2x^{4}-5x+1=2x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-5x+1$$

Feito isso, podemos finalmente usar o dispositivo. Através da aplicação dos passos anteriores, chegamos a:

Assim, a divisão de \(P(x)=2x^{4}-5x+1\) por \(x+3\), tem quociente
$$Q(x)=2x^{3}-6x^{2}+18x-59$$

O resto será: $$R(x)=178$$

Como dividimos o binômio inicial por 2, então para determinar o quociente da divisão de \(P(x)\) por \(2x+6\), basta dividir cada termo de \(Q(x)\) acima também por 2, isto é:

$$Q’(x)=x^{3}-3x^{2}+9x-\frac{59}{2}$$

O resto permanece o mesmo: $$R(x)=178$$