O dispositivo prático de Briot Ruffini é um método de divisão entre um polinômio e um monômio do tipo x−ax−a.
O melhor jeito de entendê-lo é através de um exemplo. Para isso, iremos ilustrar com duas divisões.
O dispositivo prático de Briot Ruffini é um método de divisão entre um polinômio e um monômio do tipo x−ax−a.
O melhor jeito de entendê-lo é através de um exemplo. Para isso, iremos ilustrar com duas divisões.
Vamos dividir o polinômio P(x)=3x4−5x3+2x2+3x−1P(x)=3x4−5x3+2x2+3x−1 pelo monômio x−2x−2.
1. Verificar se há todos os coeficientes com grau menor ou igual de P(x)P(x); se não houver, completar com zeros.
É evidente que no nosso exemplo,
P(x)=3x4−5x3+2x2+3x−1P(x)=3x4−5x3+2x2+3x−1
possui todos os coeficientes cujos termos têm graus menores que 4, que é o grau de PP.
2. Coloca-se, no quadro abaixo, os coeficientes em ordem decrescente. Os nossos coeficientes são: 3, -5, 2, 3 e 1. Obtemos então:
3. No lado direito do quadro, coloca-se o valor de aa do binômio x−ax−a. Como nosso binômio é x−2x−2 então a=2a=2:
4. Copia-se o primeiro coeficiente, logo abaixo dele:
5. Multiplica-se o número da 2ª linha por aa e, em seguida, soma-se o resultado com o próximo número da 1ª linha. O novo número da 2ª linha será o valor final dessa conta.
Multiplicando-se então 3 por 2, obtemos 6. Somando o resultado com -5, chegamos a 1. Tal número colocamos logo abaixo do 5:
6. Repete-se o passo anterior com o próximo número da 2ª linha até completá-la.
Temos que 1 vezes 2 vale 2. Somando o resultado com 2, chegamos a 4:
Repetindo o processo: 4 multiplicado por 2 resulta em 8 que somado com 3, dá 11:
E por fim, 11 vezes 2 é igual a 22 e, quando somamos com 1, obtemos 23:
7. O quociente da divisão terá sempre um grau menor que do dividendo. Os seus coeficientes são os números da 2ª linha, exceto pelo último, pois este é o resto da divisão.
Como nosso polinômio inicial tem grau 4, então o quociente terá 3 e seus coeficientes serão todos os números da 2ª linha, exceto o último:
q(x)=3x3+1x2+4x+11q(x)=3x3+1x2+4x+11
E o resto da divisão é o último número:
r(x)=23r(x)=23
Vamos dividir agora P(x)=2x4−5x+1P(x)=2x4−5x+1 por 2x+62x+6.
Note que o coeficiente de xx no binômio vale 2. Para aplicar o método do Briot-Ruffini, ele deve ser igual a 1. Para obtermos isso, iremos dividir cada termo do binômio por 2, chegando a:
x+3x+3
E será esse que usaremos na divisão, com a=−3a=−3.
Observe ainda que o polinômio P(x)P(x) não possui todos os coeficientes. Completamos, então, com zeros:
P(x)=2x4−5x+1=2x4+0x3+0x2−5x+1P(x)=2x4−5x+1=2x4+0x3+0x2−5x+1
Feito isso, podemos finalmente usar o dispositivo. Através da aplicação dos passos anteriores, chegamos a:
Assim, a divisão de P(x)=2x4−5x+1P(x)=2x4−5x+1 por x+3x+3, tem quociente
Q(x)=2x3−6x2+18x−59Q(x)=2x3−6x2+18x−59
O resto será: R(x)=178R(x)=178
Como dividimos o binômio inicial por 2, então para determinar o quociente da divisão de P(x)P(x) por 2x+62x+6, basta dividir cada termo de Q(x)Q(x) acima também por 2, isto é:
Q′(x)=x3−3x2+9x−592Q′(x)=x3−3x2+9x−592
O resto permanece o mesmo: R(x)=178R(x)=178
Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
Dividindo-se o polinômio x4+2x3−2x2−4x−21x4+2x3−2x2−4x−21 por x+3x+3, obtém-se: