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Divisão de Polinômios - Briot Ruffini

Matemática - Manual do Enem
Marcus Vinicius Publicado por Marcus Vinicius
 -  Última atualização: 5/12/2024

Introdução

dispositivo prático de Briot Ruffini é um método de divisão entre um polinômio e um monômio do tipo xaxa.

O melhor jeito de entendê-lo é através de um exemplo. Para isso, iremos ilustrar com duas divisões.

Índice

Exemplo 1

Vamos dividir o polinômio P(x)=3x45x3+2x2+3x1P(x)=3x45x3+2x2+3x1 pelo monômio x2x2.

1. Verificar se há todos os coeficientes com grau menor ou igual de P(x)P(x); se não houver, completar com zeros.

É evidente que no nosso exemplo,
P(x)=3x45x3+2x2+3x1P(x)=3x45x3+2x2+3x1
possui todos os coeficientes cujos termos têm graus menores que 4, que é o grau de PP.

2. Coloca-se, no quadro abaixo, os coeficientes em ordem decrescente. Os nossos coeficientes são: 3, -5, 2, 3 e 1. Obtemos então:


3. No lado direito do quadro, coloca-se o valor de aa do binômio xaxa. Como nosso binômio é x2x2 então a=2a=2:

4. Copia-se o primeiro coeficiente, logo abaixo dele:

5. Multiplica-se o número da 2ª linha por aa e, em seguida, soma-se o resultado com o próximo número da 1ª linha. O novo número da 2ª linha será o valor final dessa conta.

Multiplicando-se então 3 por 2, obtemos 6. Somando o resultado com -5, chegamos a 1. Tal número colocamos logo abaixo do 5:

6. Repete-se o passo anterior com o próximo número da 2ª linha até completá-la.

Temos que 1 vezes 2 vale 2. Somando o resultado com 2, chegamos a 4:

Repetindo o processo: 4 multiplicado por 2 resulta em 8 que somado com 3, dá 11:


E por fim, 11 vezes 2 é igual a 22 e, quando somamos com 1, obtemos 23:

7. O quociente da divisão terá sempre um grau menor que do dividendo. Os seus coeficientes são os números da 2ª linha, exceto pelo último, pois este é o resto da divisão.

Como nosso polinômio inicial tem grau 4, então o quociente terá 3 e seus coeficientes serão todos os números da 2ª linha, exceto o último:

q(x)=3x3+1x2+4x+11q(x)=3x3+1x2+4x+11

E o resto da divisão é o último número:
r(x)=23r(x)=23

Exemplo 2

Vamos dividir agora P(x)=2x45x+1P(x)=2x45x+1 por 2x+62x+6.

Note que o coeficiente de xx no binômio vale 2. Para aplicar o método do Briot-Ruffini, ele deve ser igual a 1. Para obtermos isso, iremos dividir cada termo do binômio por 2, chegando a:

x+3x+3

E será esse que usaremos na divisão, com a=3a=3.

Observe ainda que o polinômio P(x)P(x) não possui todos os coeficientes. Completamos, então, com zeros:

P(x)=2x45x+1=2x4+0x3+0x25x+1P(x)=2x45x+1=2x4+0x3+0x25x+1

Feito isso, podemos finalmente usar o dispositivo. Através da aplicação dos passos anteriores, chegamos a:

Assim, a divisão de P(x)=2x45x+1P(x)=2x45x+1 por x+3x+3, tem quociente
Q(x)=2x36x2+18x59Q(x)=2x36x2+18x59

O resto será: R(x)=178R(x)=178

Como dividimos o binômio inicial por 2, então para determinar o quociente da divisão de P(x)P(x) por 2x+62x+6, basta dividir cada termo de Q(x)Q(x) acima também por 2, isto é:

Q(x)=x33x2+9x592Q(x)=x33x2+9x592

O resto permanece o mesmo: R(x)=178R(x)=178

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).

 

Exercício de fixação
Passo 1 de 3
UEL

Dividindo-se o polinômio x4+2x32x24x21x4+2x32x24x21 por x+3x+3, obtém-se:

A x32x2+x12 com resto nulo
B x32x2+3 com resto 16
C x3+x213x+35 com resto 84
D x3+x23x+1 com resto 2
E x3x2+x7 com resto nulo
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