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Matemática

Divisores

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 13/11/2018

Introdução

Um número natural \(n\) é dito divisor de um número natural \(p\) quando a divisão de \(p\) por \(n\) for exata, isto é, se o resto for zero.

Por exemplo, 8 é divisor de 16, pois \(16\div8=2\) com resto 0. Do mesmo modo, temos que 2 é divisor de 30, já que a divisão de 30 por 2 resulta em 15 com resto 0.

Agora, o número 5 não é divisor de 9, uma vez que a divisão de 9 por 5 tem resto 4.

Propriedades dos divisores

Existem algumas propriedades sobre os divisores de um número que estão listadas abaixo:

  • O número 1 é divisor de todo número;
  • O número 1 é o menor divisor de um número;
  • O maior divisor de um número é ele próprio;
  • O conjunto formado pelos divisores de um número é finito.

Os divisores de 32, por exemplo, são:

$$\{1,2,4,8,16,32\}$$

Já os divisores do número 20 são:

$$\{1,2,4,5,10,20\}$$

Enquanto que os divisores de 3 são:

$$\{1,3\}$$

Números primos

Chamamos de números primos aqueles que os únicos divisores são 1 e ele próprio. O conjunto dos números primos é infinito e o único primo par é 2:

$$\{2,3,5,7,11,13,17,19,\ldots\}$$

Determinação dos divisores de um número

Determinar os divisores de um número, às vezes, pode ser uma tarefa um pouco trabalhosa. Assim, a fim de terminar o conjunto dos divisores de um número podemos utilizar um método que faz uso da decomposição em fatores primos. Tal método será explicado através de um exemplo ilustrado a seguir.

Determinemos os divisores de 36.

  • Fatora-se o número 36 em fatores primos:
    $$\begin{array}{c|c}36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$$
  • Em seguida, traça-se uma segunda reta vertical, à direita da decomposição e na linha acima do primeiro fator primo, coloca-se o número 1, que é divisor de todos os números:
    $$\begin{array}{c|c|c} & & 1 \\ 36 & 2 & \\ 18 & 2 & \\ 9 & 3 & \\ 3 & 3 & \\ 1 & & \end{array}$$ 
  • Em seguida, multiplicamos o primeiro fator primo (neste caso, o 2) pelo divisor 1 e inserimos o resultado na sua linha correspondente:
    $$\begin{array}{c|c|c} &  & 1 \\ 36 & 2 & 2 \\ 18 & 2 & \\  9 & 3 & \\  3 & 3 & \\  1 &    & \end{array}$$
  • E fazemos o mesmo processo com o próximo fator primo (que também é 2), multiplicando-o pelos divisores que aparecem na terceira coluna, mas sem repetir produtos:
    $$\begin{array}{c|c|c} & & 1 \\ 36 & 2 & 2 \\ 18 & 2 & 4 \\ 9 & 3 & \\ 3 & 3 & \\ 1 & & \end{array}$$
  • Façamos novamente a multiplicação, agora de 3 pelos divisores que apareceram:
    $$\begin{array}{c|c|c} & & 1 \\ 36 & 2 & 2 \\ 18 & 2 & 4 \\ 9 & 3 & 3, 6, 12 \\ 3 & 3 & \\ 1 & & \end{array}$$
  • E, por fim, com o último fator primo (que é igual a 3):
    $$\begin{array}{c|c|c} & & 1 \\ 36 & 2 & 2 \\ 18 & 2 & 4 \\ 9 & 3 & 3, 6, 12 \\ 3 & 3 & 9, 18, 36 \\ 1 & & \end{array}$$

Logo, os divisores de 36 são:

$$\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$$

Quantidade de divisores de um número natural

O método a seguir - que também usa decomposição em fatores primos - nos dá a quantidade de divisores de um número natural. Para facilitar, também o explicaremos através de dois exemplos.

Primeiro, vamos calcular o número de divisores de 6. 

  • Decompõe-se 6 em fatores primos:
    $$\begin{array}{c|c} 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 \end{array}$$
  • Escreve a decomposição como produto de potências; nesse caso:
    $$6=2\cdot3$$
    E como o expoente está omitido, então ele vale 1, isto é:
    $$6=2^{1}\cdot3^{1}$$
  • Soma-se 1 a cada expoente:
    $$1+1=2$$
    e
    $$1+1=2$$
  • Multiplica-se as somas; o número encontrado é a quantidade de divisores:
    $$2\cdot2=4$$
    Ou seja, 6 tem 4 divisores. De fato, os divisores de 6 são:
    $$\{1,2,3,6\}$$

Do mesmo modo, ao se decompor 24 em fatores primos, obtemos:
$$24=2^{3}\cdot3^{2}$$

E somando 1 a cada expoente:

$$3+1=4$$

$$2+1=3$$

Por fim, o número de divisores de 24 será 

$$4\cdot3=12$$


Exercícios

Exercício 1
(ENEM)

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número \(N\) é dado pela expressão \(2^{x}\cdot5^{y}\cdot7^{z}\), na qual \(x,y\) e \(z\) são números inteiros não negativos. Sabe-se que \(N\) é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de \(N\), diferentes de \(N\), é:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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