Um número natural \(n\) é dito divisor de um número natural \(p\) quando a divisão de \(p\) por \(n\) for exata, isto é, se o resto for zero.
Por exemplo, 8 é divisor de 16, pois \(16\div8=2\) com resto 0. Do mesmo modo, temos que 2 é divisor de 30, já que a divisão de 30 por 2 resulta em 15 com resto 0.
Agora, o número 5 não é divisor de 9, uma vez que a divisão de 9 por 5 tem resto 4.
Existem algumas propriedades sobre os divisores de um número que estão listadas abaixo:
Os divisores de 32, por exemplo, são:
$$\{1,2,4,8,16,32\}$$
Já os divisores do número 20 são:
$$\{1,2,4,5,10,20\}$$
Enquanto que os divisores de 3 são:
$$\{1,3\}$$
Chamamos de números primos aqueles que os únicos divisores são 1 e ele próprio. O conjunto dos números primos é infinito e o único primo par é 2:
$$\{2,3,5,7,11,13,17,19,\ldots\}$$
Determinar os divisores de um número, às vezes, pode ser uma tarefa um pouco trabalhosa. Assim, a fim de terminar o conjunto dos divisores de um número podemos utilizar um método que faz uso da decomposição em fatores primos. Tal método será explicado através de um exemplo ilustrado a seguir.
Determinemos os divisores de 36.
Logo, os divisores de 36 são:
$$\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$$
O método a seguir - que também usa decomposição em fatores primos - nos dá a quantidade de divisores de um número natural. Para facilitar, também o explicaremos através de dois exemplos.
Primeiro, vamos calcular o número de divisores de 6.
Do mesmo modo, ao se decompor 24 em fatores primos, obtemos:
$$24=2^{3}\cdot3^{2}$$
E somando 1 a cada expoente:
$$3+1=4$$
$$2+1=3$$
Por fim, o número de divisores de 24 será
$$4\cdot3=12$$
Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número \(N\) é dado pela expressão \(2^{x}\cdot5^{y}\cdot7^{z}\), na qual \(x,y\) e \(z\) são números inteiros não negativos. Sabe-se que \(N\) é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de \(N\), diferentes de \(N\), é: