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Índice
Introdução
Observe a função \(f\colon A\to B\) a seguir.
O conjunto de onde saem as flechas, isto é, aquele que irá gerar os possíveis valores no conjunto à direita da figura, é chamado de domínio da função.
$$D_{f}=\{1,2,3\}$$
E chamamos de conjunto-imagem aquele formado pelos elementos onde, de fato, chegam as setas. Neste caso:
$$Im_{f}=\{4,6,7\}$$
Note que nenhum ponto do domínio chega no número 5 do conjunto \(B\). Logo, ele não pertence ao conjunto-imagem de \(f\).
Além disso, dizemos que, por exemplo, 6 é a imagem de 2, pois o número 2 do domínio chega no número 6; escrevemos:
$$f(2)=6$$
bem como
$$f(3)=7$$
visto que a imagem de 3 é o número 7. Observe que a função, no início do texto, foi escrita como
$$f\colon A\to B$$
Este conjunto \(A\) sempre representa o seu domínio.
Então, por exemplo, dada a função \(g\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{N}\), podemos afirmar que seu domínio é o conjunto dos números inteiros \(\mathbb{Z}\). Já a imagem, depende da lei de formação da função.
Dada a função \(h\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}\), onde \(h(x)=2x\), temos que seu domínio é o conjunto dos números naturais:
$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,\ldots\}$$
Para \(x=1\), por exemplo, tem-se
$$h(1)=2\cdot1=2$$
logo, a imagem do ponto 1 do domínio vale 2. Bem como, a imagem do ponto 2 do domínio vale 4 pois, para \(x=2\):
$$h(2)=2\cdot2=4$$
e, de modo análogo
$$h(3)=2\cdot3=6$$
Notemos que a imagem de \(h\) são os múltiplos (maiores que zero) do número 2. De fato, visto que a função \(h\) é definida como sendo \(2x\) para cada \(x\) natural.
Principais conclusões
- Domínio é o conjunto de partida A de uma função f: A→B, ou seja, todos os elementos que podem ser usados como entrada; conjunto-imagem (Im f) é o subconjunto de B formado pelos valores realmente atingidos pelas setas, isto é {f(x): x∈A}.
- A função associa cada x∈A a um único valor f(x) em B; por definição Df=A e Im f={f(x)|x∈A}; para calcular imagens aplica-se a lei de formação a cada elemento do domínio, por exemplo h(x)=2x em ℕ gera 2,4,6,...
- Contextualização: o domínio decorre da notação f:A→B e define quais entradas são permitidas; já a imagem depende da regra da função, como em g:ℤ→ℕ, cujo domínio é ℤ, e em h:ℕ→ℝ, cuja imagem são os múltiplos positivos de 2.
- No ENEM há erro frequente ao confundir contradomínio B com imagem Im f; verifique se todos os elementos de B são atingidos; relacione funções com física, economia e estatística para modelar entradas, saídas e interpretar resultados em problemas interdisciplinares.
- Aplicação prática: dominar domínio e imagem ajuda a verificar validade de modelos, determinar valores alcançáveis e resolver questões sobre injetividade ou sobrejetividade; sempre identifique o domínio e calcule Im f aplicando a lei a seus elementos.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Domínio e imagem para vestibular
Quero Bolsa
Dada a função abaixo, pode-se afirmar que
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