Domínio e imagem

Observe a função \(f\colon A\to B\) a seguir.

O conjunto de onde saem as flechas, isto é, aquele que irá gerar os possíveis valores no conjunto à direita da figura, é chamado de domínio da função.

$$D_{f}=\{1,2,3\}$$

E chamamos de conjunto-imagem aquele formado pelos elementos onde, de fato, chegam as setas. Neste caso:

$$Im_{f}=\{4,6,7\}$$

Note que nenhum ponto do domínio chega no número 5 do conjunto \(B\). Logo, ele não pertence ao conjunto-imagem de \(f\).

Além disso, dizemos que, por exemplo, 6 é a imagem de 2, pois o número 2 do domínio chega no número 6; escrevemos:

$$f(2)=6$$

bem como

$$f(3)=7$$

visto que a imagem de 3 é o número 7. Observe que a função, no início do texto, foi escrita como

$$f\colon A\to B$$

Este conjunto \(A\) sempre representa o seu domínio.

Então, por exemplo, dada a função \(g\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{N}\), podemos afirmar que seu domínio é o conjunto dos números inteiros \(\mathbb{Z}\). Já a imagem, depende da lei de formação da função.

Dada a função \(h\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}\), onde \(h(x)=2x\), temos que seu domínio é o conjunto dos números naturais:

$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,\ldots\}$$

Para \(x=1\), por exemplo, tem-se

$$h(1)=2\cdot1=2$$

logo, a imagem do ponto 1 do domínio vale 2. Bem como, a imagem do ponto 2 do domínio vale 4 pois, para \(x=2\):

$$h(2)=2\cdot2=4$$

e, de modo análogo

$$h(3)=2\cdot3=6$$

Notemos que a imagem de \(h\) são os múltiplos (maiores que zero) do número 2. De fato, visto que a função \(h\) é definida como sendo \(2x\) para cada \(x\) natural.