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Índice
Introdução
Chamamos de expressão algébrica todo conjunto de operações entre letras e números. São exemplos de expressões algébricas:
- \(2x+y\)
- \(3a-5+a^{2}\)
- \(4x^{2}-6x+8y\)
- \(3xy\)
Os valores numéricos são os coeficientes da expressão, e as letras, suas incógnitas. Além disso, cada parte separada pelos sinais de mais (ou menos) é definida como termo (ou membro) da expressão.
Por exemplo, na expressão $$3x^{3}+2x-4$$ há três termos: \(3x^{3},2x\) e \(-4\) e a incógnita é \(x\). Os coeficientes de cada termo são 3, 2 e -4.
Uma equação é toda igualdade entre duas expressões algébricas. São exemplos de equações:
- \(2x+3y=4\)
- \(x^{3}-x=5x+1\)
- \(-4a+6=10\)
Principais conclusões
- Equação é uma igualdade entre duas expressões algébricas composta por termos, coeficientes e incógnitas; sua solução corresponde aos valores das incógnitas que tornam a sentença verdadeira, representados no conjunto‑solução, que pode ser único, múltiplo ou vazio.
- Resolver uma equação significa determinar os valores das incógnitas que satisfazem a igualdade; aplicam‑se operações equivalentes — somar/subtrair igual valor em ambos os lados ou multiplicar/dividir todos os termos por um mesmo valor não nulo — preservando soluções.
- No contexto algébrico, equações relacionam expressões e classificam‑se pelo grau: para uma incógnita é o maior expoente; para várias, é a maior soma de expoentes num termo; o grau orienta a escolha de métodos de resolução e indica comportamento esperado das raízes.
- No ENEM, evite confundir expressão algébrica com equação, calcule corretamente o grau em equações com várias incógnitas (somando expoentes) e reconheça que equações lineares com mais de uma incógnita podem admitir infinitas soluções representadas por pares ordenados.
- Equações são ferramentas centrais para modelar e resolver problemas; identificar termos, coeficientes e grau e aplicar transformações equivalentes permite simplificar expressões, encontrar raízes e interpretar soluções únicas, múltiplas ou infinitas em contextos práticos.
Solução de uma equação
Resolver uma equação significa encontrar os valores das incógnitas que tornam a sentença verdadeira. Tomemos como exemplo a equação:
$$2x-1=5$$
Para \(x=4\), obtemos:
$$2\cdot4-1=8-1=7\neq5$$
Ou seja, é uma sentença falsa. Porém, para \(x=3\):
$$2\cdot3-1=6-1=5=5$$
A sentença torna-se verdadeira. Portanto, \(x=3\) é solução ou raiz, ou ainda zero, da equação e escrevemos o seu conjunto-solução da seguinte maneira:
$$S=\{3\}$$
É evidente que uma equação pode ter mais de uma (ou ainda nenhuma) solução. A equação $$x^{2}-5x+6=0$$ tem como raízes os números \(x=2\) e \(x=3\), pois ambos a tornam uma sentença verdadeira:
$$2^{2}-5\cdot2+6=4-10+6=0$$
$$3^{2}-5\cdot3+6=9-15+6=0$$
Assim, seu conjunto-solução será:
$$S=\{2,3\}$$
Além disso, uma equação com duas (ou mais incógnitas), pode ter várias soluções. Por exemplo, tomando-se $$x+y=4$$ e supondo que \(x,y\in\mathbb{R}\), então existem infinitas soluções.
Cada solução é representada por um par ordenado \((x,y)\). O par \((1,3)\), por exemplo, onde \(x=1\) e \(y=3\) é uma solução da equação acima, visto que:
$$1+3=4$$
Bem como o par \((4,0)\), onde \(x=4\) e \(y=0\).
Grau de uma equação
Para equações de uma única incógnita, o grau da equação será o número do seu maior expoente. Por exemplo:
- \(2x^{3}+3x^{2}=5\): grau 3;
- \(4t^{2}-5t^{6}=0\): grau 6;
- \(-3a=2\): grau 1.
Mas se a equação tiver mais de uma incógnita, o seu grau será a maior soma possível dos expoentes. Se tivermos, como exemplo, a equação:
$$a^{3}b+2ab-a^{2}b^{3}=6$$
Os graus dos seus termos são:
- \(a^{3}b=a^{3}b^{1}\): 3+1: grau 4;
- \(ab=a^{1}b^{1}\): 1+1: grau 2;
- \(a^{2}b^{3}\): 2+3: grau 5.
Portanto, o grau da equação será 5.
Equações equivalentes
Tomemos a seguinte equação:
$$3x+4=13$$
Temos que seu conjunto-solução é \(S=\{3\}\). Se multiplicarmos cada termo da equação pelo número 2, por exemplo, iremos obter uma nova equação:
$$6x+8=26$$
Porém, com o mesmo conjunto-solução \(S=\{3\}\).
Do mesmo modo, se subtrairmos o número 1 em ambos os lados da igualdade da primeira equação, obteremos uma outra equação:
$$3x+3=12$$
O conjunto-solução também será \(S=\{3\}\).
Dizemos, desse modo, que as igualdades \(3x+4=13,6x+8=26\) e \(3x+13=12\) são equações equivalentes, pois, através de operações de soma (ou subtração) de um número, em ambos os lados, e multiplicação (ou divisão) de todos os termos por um mesmo valor, obtivemos equações cujos conjuntos-solução são iguais entre si.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Equação para vestibular
Quero Bolsa
Na equação \(2x^{3}-3x^{2}-6x^{4}=0\), o seu grau vale:
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