Equação

Chamamos de expressão algébrica todo conjunto de operações entre letras e números. São exemplos de expressões algébricas:

• \(2x+y\)
• \(3a-5+a^{2}\)
• \(4x^{2}-6x+8y\)
• \(3xy\)

Os valores numéricos são os coeficientes da expressão, e as letras, suas incógnitas. Além disso, cada parte separada pelos sinais de mais (ou menos) é definida como termo (ou membro) da expressão.

Por exemplo, na expressão $$3x^{3}+2x-4$$ há três termos: \(3x^{3},2x\) e \(-4\) e a incógnita é \(x\). Os coeficientes de cada termo são 3, 2 e -4.

Uma equação é toda igualdade entre duas expressões algébricas. São exemplos de equações:

• \(2x+3y=4\)
• \(x^{3}-x=5x+1\)
• \(-4a+6=10\)

Resolver uma equação significa encontrar os valores das incógnitas que tornam a sentença verdadeira. Tomemos como exemplo a equação:

$$2x-1=5$$

Para \(x=4\), obtemos:

$$2\cdot4-1=8-1=7\neq5$$

Ou seja, é uma sentença falsa. Porém, para \(x=3\):

$$2\cdot3-1=6-1=5=5$$

A sentença torna-se verdadeira. Portanto, \(x=3\) é solução ou raiz, ou ainda zero, da equação e escrevemos o seu conjunto-solução da seguinte maneira:

$$S=\{3\}$$

É evidente que uma equação pode ter mais de uma (ou ainda nenhuma) solução. A equação $$x^{2}-5x+6=0$$ tem como raízes os números \(x=2\) e \(x=3\), pois ambos a tornam uma sentença verdadeira:

$$2^{2}-5\cdot2+6=4-10+6=0$$

$$3^{2}-5\cdot3+6=9-15+6=0$$

Assim, seu conjunto-solução será:

$$S=\{2,3\}$$

Além disso, uma equação com duas (ou mais incógnitas), pode ter várias soluções. Por exemplo, tomando-se $$x+y=4$$ e supondo que \(x,y\in\mathbb{R}\), então existem infinitas soluções.

Cada solução é representada por um par ordenado \((x,y)\). O par \((1,3)\), por exemplo, onde \(x=1\) e \(y=3\) é uma solução da equação acima, visto que:

$$1+3=4$$

Bem como o par \((4,0)\), onde \(x=4\) e \(y=0\).

Para equações de uma única incógnita, o grau da equação será o número do seu maior expoente. Por exemplo:

• \(2x^{3}+3x^{2}=5\): grau 3;
• \(4t^{2}-5t^{6}=0\): grau 6;
• \(-3a=2\): grau 1.

Mas se a equação tiver mais de uma incógnita, o seu grau será a maior soma possível dos expoentes. Se tivermos, como exemplo, a equação:

$$a^{3}b+2ab-a^{2}b^{3}=6$$

Os graus dos seus termos são:

• \(a^{3}b=a^{3}b^{1}\): 3+1: grau 4;
• \(ab=a^{1}b^{1}\): 1+1: grau 2;
• \(a^{2}b^{3}\): 2+3: grau 5.

Portanto, o grau da equação será 5.

Tomemos a seguinte equação:

$$3x+4=13$$

Temos que seu conjunto-solução é \(S=\{3\}\). Se multiplicarmos cada termo da equação pelo número 2, por exemplo, iremos obter uma nova equação:

$$6x+8=26$$

Porém, com o mesmo conjunto-solução \(S=\{3\}\).

Do mesmo modo, se subtrairmos o número 1 em ambos os lados da igualdade da primeira equação, obteremos uma outra equação:

$$3x+3=12$$

O conjunto-solução também será \(S=\{3\}\). 

Dizemos, desse modo, que as igualdades \(3x+4=13,6x+8=26\) e \(3x+13=12\) são equações equivalentes, pois, através de operações de soma (ou subtração) de um número, em ambos os lados, e multiplicação (ou divisão) de todos os termos por um mesmo valor, obtivemos equações cujos conjuntos-solução são iguais entre si.