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Índice
Introdução
Chamamos de equação biquadrada toda equação do tipo
$$ax^{2n}+bx^{n}+c=0$$
os casos mais comuns são aquelas envolvendo \(x^{4}\) e \(x^{2}\), como
$$2x^{4}-5x^{2}+7=0$$
ou \(x^{6}\) e \(x^{3}\):
$$5x^{6}+x^{3}+1=0$$
A resolução de uma equação biquadrada se dá através de uma mudança de variável de modo que obtenhamos uma equação do 2º grau.
Iremos resolver a equação \(x^{4}-6x^{2}+8=0\). Note que se chamarmos \(x^{2}=t\) então, como
$$x^{4}=(x^{2})^{2}$$
então
$$x^{4}=t^{2}$$
logo, temos a seguinte equação do 2º grau
$$t^{2}-6t+8=0$$
cuja solução é \(t=2\) ou \(t=4). Mas como \(x^{2}=t\), segue que
$$x^{2}=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$$
ou
$$x^{2}=4\Rightarrow x=\pm\sqrt{4}=\pm2$$
Isto é, a solução da equação \(x^{4}-6x^{2}+8=0\) é o conjunto
$$S=\{\pm\sqrt{2},\pm2\}$$
Principais conclusões
- Equação biquadrada é uma equação polinomial da forma ax^{2n}+bx^{n}+c=0; os casos mais comuns envolvem potências pares, como x^4 e x^2 (ex.: 2x^4-5x^2+7=0), e servem de padrão para reconhecer quando usar substituição.
- Resolve-se por mudança de variável: define-se x^n = t para reduzir a expressão a uma equação quadrática em t; resolve-se t (ex.: x^4-6x^2+8 → t^2-6t+8 com t=2,4) e em seguida aplica-se a substituição inversa para obter x.
- No contexto matemático e escolar, biquadradas são casos particulares de polinômios resolvíveis por substituição; aparecem em exercícios de álgebra para treinar fatoração, radiciação e análise de raízes reais, sendo frequentes em ensino médio e vestibulares.
- Para o ENEM, atenção ao domínio: como t = x^2, somente t ≥ 0 gera raízes reais; verifique e descarte soluções negativas de t, aplique o sinal ± ao extrair raízes de x e relacione com gráficos e interpretação contextual das soluções.
- Técnica prática para simplificar polinômios de grau maior, reduzindo tempo de resolução em provas; ao dominar a substituição e checar validade de t obtêm-se soluções exatas e melhor interpretação em problemas algébricos e de modelagem com simetrias.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Equação biquadrada para vestibular
CESGRANRIO
O produto das raízes positivas da equação \(x^{4}-11x^{2}+18=0\) é:
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