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Índice
Introdução
A equação da elipse pode ser dada de duas maneiras, dependendo sob quais eixos estão os focos.
Principais conclusões
- Elipse é a curva cônica descrita por uma equação reduzida que usa semi-eixos a e b; para focos no eixo x a forma é x²/a² + y²/b² = 1, com 2a eixo maior e 2b eixo menor, e a orientação dos focos determina qual denominação usar.
- A equação varia conforme a orientação dos focos: focos no eixo x → x²/a² + y²/b² = 1; focos no eixo y → x²/b² + y²/a² = 1; a relação entre semi-eixos e distância focal é a² = b² + c², com 2c sendo a distância F1F2.
- No contexto científico, a elipse aparece como seção cônica fundamental na geometria e modela relações entre eixos e focos; sua formulação algébrica facilita análises geométricas e interpretações em problemas matemáticos e físicos.
- Em provas como o ENEM, erro comum é confundir a e b ou usar 2a no lugar de a; identifique primeiro o eixo maior (2a) e o menor (2b), calcule c via a² = b² + c² e relacione ao enunciado antes de substituir na equação.
- A aplicação prática da equação da elipse inclui cálculo de dimensões e focos em óptica, órbitas e engenharia; dominar a troca de a e b conforme a orientação agiliza resolução de exercícios e evita erros conceituais na modelagem.
Focos sob o eixo \(x\)
Caso tenhamos a elipse a seguir:
onde \(2a\) e \(2b\) são, respectivamente, as medidas dos eixos maior e menor, então a equação (reduzida) da elipse será:
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$
É importante frisar, porém, que se \(2c\) for a medida da distância focal, isto é, o comprimento do segmento \(F_{1}F_{2}\), então vale a seguinte relação
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$
Por exemplo, vamos supor que tenhamos a seguinte elipse.
Note que o eixo maior mede 10 unidades, enquanto que o menor mede 8, logo
$$2a=10\Rightarrow a=5$$
e
$$2b=8\Rightarrow b=4$$
portanto, a equação desta elipse será
$$\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{4^{2}}=1\Rightarrow\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$$
Focos sob o eixo \(y\)
Porém, se os focos estiverem sob o eixo \(y\):
então a equação da elipse será:
$$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$$
Caso tenhamos, por exemplo, a elipse ilustrada abaixo
então, claramente, $$a=2$$ e $$b=6$$. Logo, sua equação será
$$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}=1$$
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Equação da elipse para vestibular
USF
As medidas dos lados de um retângulo são iguais às medidas do eixo maior e do eixo menor da elipse de equação \(\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{6}=1\). Nessas condições, a diagonal do retângulo mede, em uc:
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