Equação da elipse

A equação da elipse pode ser dada de duas maneiras, dependendo sob quais eixos estão os focos.

Caso tenhamos a elipse a seguir:

onde \(2a\) e \(2b\) são, respectivamente, as medidas dos eixos maior e menor, então a equação (reduzida) da elipse será:

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

É importante frisar, porém, que se \(2c\) for a medida da distância focal, isto é, o comprimento do segmento \(F_{1}F_{2}\), então vale a seguinte relação

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

Por exemplo, vamos supor que tenhamos a seguinte elipse.

Note que o eixo maior mede 10 unidades, enquanto que o menor mede 8, logo

$$2a=10\Rightarrow a=5$$

e

$$2b=8\Rightarrow b=4$$

portanto, a equação desta elipse será

$$\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{4^{2}}=1\Rightarrow\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$$

Porém, se os focos estiverem sob o eixo \(y\):

então a equação da elipse será:

$$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$$

Caso tenhamos, por exemplo, a elipse ilustrada abaixo

então, claramente, $$a=2$$ e $$b=6$$. Logo, sua equação será

$$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}=1$$