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Matemática

Equação da elipse

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 21/5/2019

Introdução

equação da elipse pode ser dada de duas maneiras, dependendo sob quais eixos estão os focos.

Focos sob o eixo \(x\)

Caso tenhamos a elipse a seguir:


onde \(2a\) e \(2b\) são, respectivamente, as medidas dos eixos maior e menor, então a equação (reduzida) da elipse será:

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

É importante frisar, porém, que se \(2c\) for a medida da distância focal, isto é, o comprimento do segmento \(F_{1}F_{2}\), então vale a seguinte relação

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

Por exemplo, vamos supor que tenhamos a seguinte elipse.


Note que o eixo maior mede 10 unidades, enquanto que o menor mede 8, logo

$$2a=10\Rightarrow a=5$$

e

$$2b=8\Rightarrow b=4$$

portanto, a equação desta elipse será

$$\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{4^{2}}=1\Rightarrow\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$$

Focos sob o eixo \(y\)

Porém, se os focos estiverem sob o eixo \(y\):


então a equação da elipse será:

$$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$$

Caso tenhamos, por exemplo, a elipse ilustrada abaixo


então, claramente, $$a=2$$ e $$b=6$$. Logo, sua equação será

$$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}=1$$

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(USF)

As medidas dos lados de um retângulo são iguais às medidas do eixo maior e do eixo menor da elipse de equação \(\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{6}=1\). Nessas condições, a diagonal do retângulo mede, em uc:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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