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Índice
Introdução
A equação de uma hipérbole tem duas variações, dependendo de onde se encontram os focos.
Principais conclusões
- A equação da hipérbole centrada na origem apresenta duas formas conforme a posição dos focos: se os focos estão no eixo x, x²/a² y²/b² = 1; se estão no eixo y, y²/a² x²/b² = 1, definindo a orientação da curva.
- Os parâmetros relacionam distâncias 2a, 2b e 2c entre vértices e focos; a, b e c obedecem c² = a² + b²; o termo quadrático positivo indica o eixo transverse (onde estão os focos) e determina qual variável aparece primeiro.
- No contexto geométrico das cônicas, a hipérbole tem duas folhas simétricas em torno do centro e suas propriedades derivam das distâncias aos focos; valores numéricos como 2a=4 e 2b=8 levam diretamente à forma explícita da equação.
- Para o ENEM, erro frequente é inverter a e b ou confundir eixo dos focos; identifique se o termo positivo é x² ou y², calcule a e b a partir de 2a e 2b e aplique c² = a² + b² para checar coerência antes de resolver.
- Na prática, ao extrair a e b de medidas dadas você monta a equação padrão e obtém vértices e verificações rápidas; usar c² = a² + b² permite calcular a posição dos focos e validar se os parâmetros correspondem à hipérbole proposta.
Equação da hipérbole com focos no eixo \(x\)
Se tivermos a seguinte configuração
de modo que
- \(2a\) é a distância entre \(A_{1}\) e \(A_{2}\);
- \(2b\) é a distância entre \(B_{1}\) e \(B_{2}\);
- \(2c\) é a distância entre \(F_{1}\) e \(F_{2}\);
com \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\), e sendo a origem do plano cartesiano o centro da hipérbole, então sua equação será
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$
Por exemplo, uma hipérbole com os focos no eixo \(x\) e \(2a=4\) e \(2b=8\), então \(a=2\) e \(b=4\) tem equação:
$$\frac{x^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{4^{2}}=1$$
$$\Rightarrow\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$$
Equação da hipérbole com focos no eixo \(y\)
Caso a hipérbole tenha focos no eixo das ordenadas:
a sua equação será
$$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$$
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Equação da hipérbole para vestibular
Quero Bolsa
Se uma hipérbole tem foco no eixo das abscissas e sendo a distância focal igual a 4, então sabendo que o eixo imaginário vale 2 sua equação será
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