Equação do 1º grau

Uma equação do 1º grau na incógnita \(x\) é toda igualdade do tipo:

$$ax+b=0$$

Onde \(a,b\in\mathbb{R}\) e \(a\neq0\). 

São exemplos de equações do 1º grau:

• \(2x+3=0\)
• \(5x-1=0\)
• \(-7a+8=0\)
• \(9t-1=0\)

Note que a equação $$2x+3=6$$ também é do 1º grau. Se subtrairmos 6 em ambos os lados, teremos:

$$2x+3-6=6-6\Rightarrow2x-3=0$$

Assim, obtemos uma equação da forma como definimos no começo do texto.

Uma equação do 1º grau sempre terá, no máximo, uma única raiz. Isto é, seu conjunto-solução ou será unitário ou vazio.

Para se resolver uma equação do 1º grau, a ideia basicamente se consiste em isolar a incógnita em um dos lados da igualdade, de modo que fazemos operações inversas para chegar a isso.

Exemplo 1

Vamos resolver a equação abaixo:

$$2x-4=0$$

• Iremos deixar a incógnita \(x\) do lado esquerdo da igualdade. Primeiramente, devemos então passar o \(-4\) para o lado direito.
  
  Como \(-4\) está negativo, passará para o outro lado com o sinal trocado, isto é, positivo:

$$2x-4=0\Rightarrow 2x=0+4$$

E efetuando-se a operação, obtemos:

$$2x=4$$

• O termo \(2x\) significa 2 vezes \(x\), ou seja, o 2 está multiplicando a incógnita. A operação inversa da multiplicação é a divisão. Deste modo, o número 2 passará para o outro lado dividindo:

$$2x=4\Rightarrow x=\frac{4}{2}$$

E dividindo 4 por 2, obtemos:

$$x=2$$

Ou seja, a raiz da equação é \(x=2\). Portanto, seu conjunto-solução é:

$$S=\{2\}$$

Exemplo 2

Iremos demonstrar agora a resolução da equação:

$$\frac{2x}{3}+5=6$$

• Como 5 está positivo, ele passará para o outro lado negativo:

$$\frac{2x}{3}+5=6\Rightarrow\frac{2x}{3}=6-5$$

Isto é:

$$\frac{2x}{3}=1$$

• Agora, o número 3 está dividindo do lado esquerdo. Assim, passará multiplicando no lado direito:
  
  

$$\frac{2x}{3}=1\Rightarrow2x=1\cdot3$$

Ou seja:

$$2x=3$$

• E como 2 está multiplicando, o passamos para o outro lado dividindo:

$$2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}$$

Logo, o conjunto-solução da equação é:

$$S=\left\{\frac{3}{2}\right\}$$

Observe que, no exemplo resolvido acima, dependendo do conjunto-universo, a solução poderia ser vazia.

O conjunto-universo é aquele que engloba todas as possíveis soluções da equação. Por exemplo, se o conjunto-universo for \(U=\mathbb{N}\), então só podem ser soluções da equação os números naturais (1, 2, 3, 4 etc).

Deste modo, na equação resolvida anteriormente, teríamos:

$$S=\varnothing$$

O mesmo valeria se \(U=\mathbb{Z}\), pois os números que poderiam pertencer ao conjunto-solução seriam os inteiros, isto é:

$$\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,\ldots$$

Porém, caso \(U=\mathbb{Q}\) ou \(U=\mathbb{R}\), então:

$$S=\left\{\frac{3}{2}\right\}$$

Pois \(3/2\) é um número racional (e, portanto, real).

Deste modo, fica claro que é importante, no enunciado do exercício, observar qual o conjunto-universo da equação.