Uma equação linear é toda equação da forma
$$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\ldots+a_{n}x_{n}=b$$
onde \(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{n}\) são números reais chamados de coeficientes da equação e \(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}\), suas incógnitas. Além disso, o número real \(b\) é o termo independente da equação.
São exemplos de equações lineares:
coeficientes: 2 e 3
incógnitas: \(x\) e \(y\)
termo independente: 4
coeficientes: 1, -1 e 1
incógnitas: \(x,y\) e \(z\)
termo independente: 0
coeficientes: 3, 4 e -5
incógnitas: \(x,y\) e \(z\)
termo independente: 5
coeficientes: -7, 8, 2 e -1
incógnitas: \(x,y,z\) e \(w\)
termo independente: -2
Uma solução de uma equação linear é uma sequência de números que tornam a igualdade da equação verdadeira.
Se tomarmos assim a equação
$$x-2y=5$$
temos que a sequência \((7,1)\) é uma solução para \(x=7\) e \(y=1\), pois, ao substituirmos, obtemos:
$$7-2\cdot1=7-2=5$$
e o mesmo ocorre para a sequência \((-3,-4)\):
$$-3-2\cdot(-4)=-3+8=5$$
É evidente que nem toda sequência é solução de uma equação linear. Se tomarmos a equação
$$x+y+z=1$$
vemos que a sequência \((-1,1,0)\) para \(x=-1,y=1\) e \(z=0\) não é solução da mesma, pois
$$-1+1+0=0\neq1$$