Equações algébricas

Dados dois polinômios \(p_{1}(x)\) e \(p_{2}(x)\), então a igualdade $$p_{1}(x)=p_{2}(x)\Rightarrow p_{1}(x)-p_{2}(x)=0$$ é uma equação algébrica.

São, por exemplo, equações algébricas:

• \(3x^{4}-5x^{3}+2x^{2}+9x-3=0\)
• \(-2x^{3}+4=5x\)
• \(x^{2}-5x+6=1\)
• \(-2x+3=4-7x+3x^{4}\)

O grau de uma equação algébrica vai ser o maior grau de um dos polinômios que a forma. 

Nas equações acima, temos que os graus são, respectivamente, iguais a 4, 3, 2 e 4.

Dizemos que um número real é uma raiz (ou zero) de uma equação algébrica se ele satisfizer a igualdade em questão.

Por exemplo, tomando a equação algébrica:

$$x^{3}-x^{2}+x-1=0$$

Temos que o número \(x=1\) é uma raiz dela, pois ao substituirmos \(x\) por 1 na expressão acima, tal valor satisfaz a igualdade, isto é:

$$1^{3}-1^{2}+1-1=0$$

$$\Rightarrow1-1+1-1=0$$

$$\Rightarrow0=0$$

Já o mesmo não acontece, por exemplo, com \(x=2\), visto que ao substituir \(x\) por 2 na equação, obtemos:

$$2^{3}-2^{2}+2-2=0$$

$$\Rightarrow8-4+2-2=0$$

$$\Rightarrow4=0$$

Evidentemente, tal afirmação é falsa.

Assim, resolver uma equação algébrica significa determinar todos os possíveis números que são suas raízes.

Se $$p(x)=0$$ for uma equação algébrica de grau \(n\), isto é:

$$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$$

E \(r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}\) forem suas raízes, então podemos reescrever o polinômio \(p\) como:

$$p(x)=a_{n}(x-r_{1})\cdot(x-r_{2})\cdot\ldots(x-r_{n})$$

Por exemplo, a equação abaixo tem como raízes os números 2 e 3:

$$x^{2}-5x+6=0$$

Sendo \(p(x)\) o seu polinômio correspondente, então:

$$p(x)=1\cdot(x-2)\cdot(x-3)$$

Já a próxima equação tem como única raiz o número 1/2:

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Assim, é possível reescrever seu polinômio como:

$$p(x)=4(x-1/2)\cdot(x-1/2)$$

Ou, ainda:

$$p(x)=4(x-1/2)^{2}$$

Considere a equação:

$$x^{2}-2x+1=0$$

Ao resolvermos, encontramos como única raiz o número 1. Pelo teorema da decomposição, podemos escrever seu polinômio correspondente da forma:

$$p(x)=1(x-1)\cdot(x-1)$$

O qual é equivalente a:

$$p(x)=1(x-1)^{2}$$

Neste caso, dizemos que a multiplicidade da raiz \(x=1\) é igual a 2. 

Por exemplo, se um polinômio tiver como raízes os números 3, 4 e 5, de modo que ele seja reescrito como:

$$p(x)=7(x-3)^{2}\cdot(x-4)\cdot(x-5)^{6}$$

Então, as multiplicidades das raízes 3, 4 e 5 são, respectivamente, iguais a 2, 1 e 6.

Logo, dada uma equação algébrica $$p(x)=0$$, de modo que \(r\) é uma de suas raízes com $$p(x)=(x-r)^{m}\cdot q(x)$$, então dizemos que a multiplicidade de \(r\) vale \(m\). 

A menos de multiplicidade, uma equação algébrica de grau \(n\) tem sempre \(n\) raízes.

Além disso, a soma das multiplicidades de todas as raízes é igual ao grau da equação.

Considerando, assim, a equação $$p(x)=0$$ com $$p(x)=-3(x+4)^{3}\cdot(x+1)^{2}\cdot(x-6)^{2}$$, então o grau de \(p\) é \(3+2+2=7\).