Esfera

Dado um ponto \(O\) do espaço e um número real \(R\), com \(R>0\), chamamos de esfera o conjunto dos pontos cuja distância a \(O\) seja menor ou igual a \(R\).

O ponto \(O\) é o centro da esfera e \(R\), o seu raio.

A superfície esférica é o conjunto dos pontos cuja distância ao centro é igual ao raio, ou seja, ela considera a “casca” da esfera, excluindo o seu interior.

Se \(R\) for o raio de uma superfície esférica, então sua área é dada por:

$$A=4\pi\cdot R^{2}$$

Por exemplo, em uma esfera cujo raio vale 5cm, temos que a área de sua superfície é:

$$A=4\pi\cdot R^{2}=4\pi\cdot5^{2}=4\pi\cdot25\Rightarrow A=100\pi cm^{2}$$

O volume de uma esfera de raio \(R\) é calculado através da seguinte fórmula:

$$V=\frac{4}{3}\pi\cdot R^{3}$$

Assim, como exemplo, caso queiramos calcular o volume de uma esfera cujo raio vale 3, então basta substituir tal valor na expressão acima:

$$V=\frac{4}{3}\pi\cdot3^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot27=\frac{108\pi}{3}\Rightarrow V=36\pi$$

Considere o semicírculo a seguir, de modo que seu diâmetro esteja em um eixo que chamamos de \(z\):

Note que se rotacionarmos o semicírculo em torno do eixo \(z\), iremos obter uma esfera:

Se o raio do semicírculo for \(R\), então o raio da esfera gerada a partir de sua rotação também será \(R)\.

É, então, comum dizermos que a esfera é um sólido de revolução. A partir de tal conceito, podemos fazer algumas definições.

Cunha esférica

Se não girarmos a semicircunferência totalmente em torno do eixo \(z\), ficamos diante do seguinte sólido:

A tal sólido, damos o nome de cunha esférica. Para calcular o seu volume, basta aplicarmos uma regra de três a partir do seu ângulo de rotação.

Por exemplo, vamos supor que rotacionemos uma semicircunferência (de raio medindo 6cm) 30º em torno do eixo \(z\). Se rotacionássemos 360º, evidentemente obteríamos uma esfera de raio 6, cujo volume é:

$$V=\frac{4}{3}\pi\cdot4^{3}\Rightarrow V=288\pi$$

Assim, o volume para a rotação de 30º é dado pela seguinte regra de três:

Ou seja, o volume da cunha será de:

$$x=24\pi$$

Fuso esférico

O fuso esférico é a superfície obtida a partir da cunha esférica. Ou seja, seria apenas a sua “casca”.

Analogamente, para calcular a área de um fuso, basta aplicarmos regra de três.

Assim, caso quiséssemos determinar a área de um fuso cujo ângulo de rotação foi de 45º a partir de uma semicircunferência de raio 1cm, basta inicialmente calcular a área da superfície esférica inteira - que corresponde a 360º:

$$A=4\pi\cdot R^{2}=4\pi\cdot1^{2}\Rightarrow A=4\pi$$

E, por fim, fazer uma regra de três:

Isto é, a área do fuso vale:

$$x=\frac{\pi}{2}$$

Calota esférica

Ao “cortarmos” (isto é, seccionarmos) uma esfera por um plano, obtemos a seguinte parte dela:

Tal parte damos o nome da calota esférica. Note que a “base” de uma calota é uma circunferência que se gera a partir da intersecção da esfera com o plano que a seccionou.

Se \(r\) for a medida do raio da circunferência da calota, \(h\) for a menor distância do centro da esfera até o plano de secção e \(R\) for o raio da esfera, então podemos mostrar, a partir do Teorema de Pitágoras, que:

$$R^{2}=r^{2}+h^{2}$$

A área da superfície da calota esférica é:

$$A=2\pi\cdot R\cdot h$$