O teorema ou expansão binomial, também conhecido com Binômio de Newton, é uma maneira de se expandir o binômio $$(x+y)^{n}$$ através de números binomiais.
Sendo, assim, \(x\) e \(y\) números reais quaisquer e \(n\) um número inteiro positivo, temos que:
$$(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}$$
Isto é:
$$(x+y)^{n}=\binom{n}{0}x^{n-0}y^{0}+\binom{n}{1}x^{n-1}y^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots+\binom{n}{n}x^{n-n}y^{n}$$
Onde:
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$$
Por exemplo, para expandir $$(x+2)^{4}$$ a partir do teorema binomial, com \(n=4\), temos que:
$$(x+2)^{4}=sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}x^{4-k}\cdot2^{k}$$
Isto é:
$$(x+2)^{4}=\binom{4}{0}x^{4-0}\cdot2^{0}+\binom{4}{1}x^{4-1}\cdot2^{1}+\binom{4}{2}x^{4-2}\cdot2^{2}+\binom{4}{3}x^{4-3}\cdot2^{3}+\binom{4}{4}x^{4-4}\cdot2^{4}$$
E, portanto, após calcular os números binomiais, obtemos:
$$(x+2)^{4}=x^{4}+8x^{3}+24x^{2}+32x+16$$
Observe que a expansão \((x+y)^{n}\) sempre terá \(n+1\) termos.