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Índice
Introdução
O teorema ou expansão binomial, também conhecido com Binômio de Newton, é uma maneira de se expandir o binômio $$(x+y)^{n}$$ através de números binomiais.
Sendo, assim, \(x\) e \(y\) números reais quaisquer e \(n\) um número inteiro positivo, temos que:
$$(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}$$
Isto é:
$$(x+y)^{n}=\binom{n}{0}x^{n-0}y^{0}+\binom{n}{1}x^{n-1}y^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots+\binom{n}{n}x^{n-n}y^{n}$$
Onde:
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$$
Por exemplo, para expandir $$(x+2)^{4}$$ a partir do teorema binomial, com \(n=4\), temos que:
$$(x+2)^{4}=sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}x^{4-k}\cdot2^{k}$$
Isto é:
$$(x+2)^{4}=\binom{4}{0}x^{4-0}\cdot2^{0}+\binom{4}{1}x^{4-1}\cdot2^{1}+\binom{4}{2}x^{4-2}\cdot2^{2}+\binom{4}{3}x^{4-3}\cdot2^{3}+\binom{4}{4}x^{4-4}\cdot2^{4}$$
E, portanto, após calcular os números binomiais, obtemos:
$$(x+2)^{4}=x^{4}+8x^{3}+24x^{2}+32x+16$$
Observe que a expansão \((x+y)^{n}\) sempre terá \(n+1\) termos.
Principais conclusões
- A expansão binomial, chamada Binômio de Newton, descreve como expandir (x+y)^n em soma de termos com números binomiais: (x+y)^n = Σ_{k=0}^n C(n,k) x^{n-k} y^k, com x,y reais e n inteiro positivo, totalizando n+1 termos.
- Cada termo usa o coeficiente binomial C(n,k)=n!/(k!(n-k)!) e o termo geral T_{k+1}=C(n,k)x^{n-k}y^k; para obter coeficiente de uma potência específica resolvemos a equação dos expoentes do termo geral e substituímos o k encontrado.
- Também chamado Binômio de Newton, o teorema conecta factoriais e combinações à expansão de potências inteiras de binômios; os números binomiais organizam coeficientes e permitem calcular cada termo sem multiplicar a expressão inteira por iteração.
- Para o ENEM, atenção à contagem de termos (sempre n+1), ao índice do termo geral T_{k+1}=C(n,k)x^{n-k}y^k e a expoentes internos em potências compostas (ex.: em (x^3+1)^6 surge x^{18-3k}); use x=y=1 para soma de coeficientes.
- Aplicações práticas incluem determinar coeficientes específicos (por exemplo, coeficiente 20 de x^9 em (x^3+1)^6) e calcular soma dos coeficientes por x=y=1 (ex.: (x^4+3y)^4 → (1^4+3·1)^4 = 4^4 = 256), facilitando problemas algébricos e combinatórios.
Termo geral
Para determinar o \(k\)-ésimo termo da expansão \((x+y)^{n}\), utilizamos a fórmula:
$$T_{k+1}=\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}$$
Por exemplo, o binômio \((x^{3}+1)^{6}\) tem \(n=6\), logo, seu termo geral é:
$$T_{k+1}=\binom{6}{k}(x^{3})^{6-k}1^{6}$$
Ou seja:
$$T_{k+1}=\binom{6}{k}x^{18-3k}$$
Assim, para determinarmos, como exemplo, o coeficiente de \(x^{9}\) em tal expansão, devemos impor que:
$$18-3k=9$$
Resolvendo esta equação, obtemos:
$$k=3$$
E, colocando tal valor de \(k\) na fórmula do termo geral, temos que:
$$T_{3+1}=\binom{6}{3}x^{9}\Rightarrow T_{4}=20x^{9}$$
Portanto, o coeficiente de \(x^{9}\) vale 20 na expansão de \((x^{3}+1)^{6}\).
Soma dos coeficientes
Para determinar a soma dos coeficientes de uma expansão binomial \((x+y)^{n}\), basta tomarmos \(x=y=1\) e resolvermos a potência.
Por exemplo, a soma dos coeficientes de \((x^{4}+3y)^{4}\) é:
$$(1^{4}+3\cdot1)^{4}=(1+3)^{4}=4^{4}=256$$
Fórmulas
Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
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