Expansão binomial

O teorema ou expansão binomial, também conhecido com Binômio de Newton, é uma maneira de se expandir o binômio $$(x+y)^{n}$$ através de números binomiais.

Sendo, assim, \(x\) e \(y\) números reais quaisquer e \(n\) um número inteiro positivo, temos que:

$$(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}$$

Isto é:

$$(x+y)^{n}=\binom{n}{0}x^{n-0}y^{0}+\binom{n}{1}x^{n-1}y^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots+\binom{n}{n}x^{n-n}y^{n}$$

Onde:

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$$

Por exemplo, para expandir $$(x+2)^{4}$$ a partir do teorema binomial, com \(n=4\), temos que:

$$(x+2)^{4}=sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}x^{4-k}\cdot2^{k}$$

Isto é:

$$(x+2)^{4}=\binom{4}{0}x^{4-0}\cdot2^{0}+\binom{4}{1}x^{4-1}\cdot2^{1}+\binom{4}{2}x^{4-2}\cdot2^{2}+\binom{4}{3}x^{4-3}\cdot2^{3}+\binom{4}{4}x^{4-4}\cdot2^{4}$$

E, portanto, após calcular os números binomiais, obtemos:

$$(x+2)^{4}=x^{4}+8x^{3}+24x^{2}+32x+16$$

Observe que a expansão \((x+y)^{n}\) sempre terá \(n+1\) termos.

Para determinar o \(k\)-ésimo termo da expansão \((x+y)^{n}\), utilizamos a fórmula:

$$T_{k+1}=\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}$$

Por exemplo, o binômio \((x^{3}+1)^{6}\) tem \(n=6\), logo, seu termo geral é:

$$T_{k+1}=\binom{6}{k}(x^{3})^{6-k}1^{6}$$

Ou seja:

$$T_{k+1}=\binom{6}{k}x^{18-3k}$$

Assim, para determinarmos, como exemplo, o coeficiente de \(x^{9}\) em tal expansão, devemos impor que:

$$18-3k=9$$

Resolvendo esta equação, obtemos:

$$k=3$$

E, colocando tal valor de \(k\) na fórmula do termo geral, temos que:

$$T_{3+1}=\binom{6}{3}x^{9}\Rightarrow T_{4}=20x^{9}$$

Portanto, o coeficiente de \(x^{9}\) vale 20 na expansão de \((x^{3}+1)^{6}\).

Para determinar a soma dos coeficientes de uma expansão binomial \((x+y)^{n}\), basta tomarmos \(x=y=1\) e resolvermos a potência.

Por exemplo, a soma dos coeficientes de \((x^{4}+3y)^{4}\) é:

$$(1^{4}+3\cdot1)^{4}=(1+3)^{4}=4^{4}=256$$