Indicando por \(n!\) o fatorial de um número inteiro \(n\) positivo, ele é definido como o produto de todos os números inteiros menores ou iguais a \(n\), isto é:
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot3\cdot2\cdot1$$
Por exemplo:
Por definição, \(0!=1\).
Não é possível dizer que a soma (ou subtração) de fatoriais é o fatorial da soma (ou da diferença). O mesmo vale para multiplicação, isto é:
A única operação que usamos bastante a respeito de fatoriais é sua simplificação quando eles se encontram em uma divisão. A ideia consiste em truncar o fatorial maior de modo conveniente.
Por exemplo, como:
$$7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$
Então, podemos “parar” o fatorial em um outro menor, ou seja, podemos reescrever \(7!\) como:
$$7!=6\cdot5\cdot4!$$
Pois, se abrirmos \(4!\) em sua definição, chegaremos na expressão inicial:
$$7!=6\cdot5\cdot\underbrace{4!}_{=4\cdot3\cdot2\cdot1}$$
Evidentemente, poderíamos ter reescrito \(7!\) de outras maneiras, tais como:
$$7!=7\cdot6!,\quad7!=7\cdot6\cdot5!$$
Usamos tal fato para simplificarmos frações envolvendo números fatoriais:
$$\frac{7!}{4!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!}=7\cdot6\cdot5=210$$
Basicamente, mantemos o número de menor fatorial e abrimos o maior até o valor do menor, a fim de que possamos cancelá-los entre si.
Um outro exemplo seria:
$$\frac{10!}{9!}=\frac{10\cdot9!}{9!}=10$$
A simplificação ilustrada acima é bastante utilizada também nas equações com fatoriais.
Resolvamos, assim, a equação:
$$\frac{n!}{(n-2)!}=6$$
A ideia, relembrando, consiste em abrir o maior fatorial até o menor. Claramente acima, o maior fatorial é \(n!\) que pode ser reescrito como:
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!$$
Ou seja:
$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{(n-2)!}=n\cdot(n-1)$$
Obtém-se, então, a seguinte equação equivalente à primeira:
$$n\cdot(n-1)=5\Rightarrow n^{2}-n-6=0$$
As soluções são \(n=-2\) e \(n=3\). Mas, como fatorial é necessariamente um número inteiro positivo, então o conjunto-solução será:
$$S=\{3\}$$
Se \(\frac{(n-1)!}{(n+1)!-n!}=\frac{1}{81}\), então \(n\) é igual a: