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Índice
Introdução
Indicando por \(n!\) o fatorial de um número inteiro \(n\) positivo, ele é definido como o produto de todos os números inteiros menores ou iguais a \(n\), isto é:
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot3\cdot2\cdot1$$
Por exemplo:
- \(4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24\)
- \(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\)
- \(2!=2\cdot1=2\)
- \(1!=1\)
Por definição, \(0!=1\).
Principais conclusões
- O fatorial de um inteiro n≥0 é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n: n! = n·(n−1)·...·2·1. Adota-se 0! = 1 e a operação é definida apenas para inteiros não negativos, sem extensão direta a não inteiros.
- A simplificação entre fatoriais em divisões ocorre por truncamento do maior fatorial até o menor: n!/(n−k)! = n·(n−1)·...·(n−k+1), permitindo cancelamento dos termos comuns; soma e produto de fatoriais não se transformam em fatorial.
- Na matemática discreta o fatorial fundamenta contagem de permutações, arranjos e combinações, aparece em problemas de probabilidade e serve para estudar crescimento rápido de sequências, sendo ferramenta básica em combinatória e análise de casos.
- No ENEM surgem erros comuns: supor que (m+n)! = m!+n! ou (m·n)! = m!·n!, esquecer que fatorial só admite inteiros ≥0 e não aplicar cancelamento em frações; tópicos conectam álgebra, combinatória e raciocínio lógico.
- O fatorial é prático para resolver equações com produtos sequenciais, simplificar expressões algébricas e calcular possibilidades em problemas aplicados; também orienta estratégias e implementações algorítmicas envolvendo permutações e buscas.
Operações entre fatoriais
Não é possível dizer que a soma (ou subtração) de fatoriais é o fatorial da soma (ou da diferença). O mesmo vale para multiplicação, isto é:
- \((m+n)!\neq m!+n!\)
- \((m-n)!\neq m!-n!\)
- \((\m\cdot n)!\neq m!\cdot n!\)
A única operação que usamos bastante a respeito de fatoriais é sua simplificação quando eles se encontram em uma divisão. A ideia consiste em truncar o fatorial maior de modo conveniente.
Por exemplo, como:
$$7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$
Então, podemos “parar” o fatorial em um outro menor, ou seja, podemos reescrever \(7!\) como:
$$7!=6\cdot5\cdot4!$$
Pois, se abrirmos \(4!\) em sua definição, chegaremos na expressão inicial:
$$7!=6\cdot5\cdot\underbrace{4!}_{=4\cdot3\cdot2\cdot1}$$
Evidentemente, poderíamos ter reescrito \(7!\) de outras maneiras, tais como:
$$7!=7\cdot6!,\quad7!=7\cdot6\cdot5!$$
Usamos tal fato para simplificarmos frações envolvendo números fatoriais:
$$\frac{7!}{4!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!}=7\cdot6\cdot5=210$$
Basicamente, mantemos o número de menor fatorial e abrimos o maior até o valor do menor, a fim de que possamos cancelá-los entre si.
Um outro exemplo seria:
$$\frac{10!}{9!}=\frac{10\cdot9!}{9!}=10$$
Equação com fatoriais
A simplificação ilustrada acima é bastante utilizada também nas equações com fatoriais.
Resolvamos, assim, a equação:
$$\frac{n!}{(n-2)!}=6$$
A ideia, relembrando, consiste em abrir o maior fatorial até o menor. Claramente acima, o maior fatorial é \(n!\) que pode ser reescrito como:
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!$$
Ou seja:
$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{(n-2)!}=n\cdot(n-1)$$
Obtém-se, então, a seguinte equação equivalente à primeira:
$$n\cdot(n-1)=5\Rightarrow n^{2}-n-6=0$$
As soluções são \(n=-2\) e \(n=3\). Mas, como fatorial é necessariamente um número inteiro positivo, então o conjunto-solução será:
$$S=\{3\}$$
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Fatorial para vestibular
PUC-RS
Se \(\frac{(n-1)!}{(n+1)!-n!}=\frac{1}{81}\), então \(n\) é igual a:
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