Fatorial

Indicando por \(n!\) o fatorial de um número inteiro \(n\) positivo, ele é definido como o produto de todos os números inteiros menores ou iguais a \(n\), isto é:

$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot3\cdot2\cdot1$$

Por exemplo:

• \(4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24\)
• \(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\)
• \(2!=2\cdot1=2\)
• \(1!=1\)

Por definição, \(0!=1\).

Não é possível dizer que a soma (ou subtração) de fatoriais é o fatorial da soma (ou da diferença). O mesmo vale para multiplicação, isto é:

• \((m+n)!\neq m!+n!\)
• \((m-n)!\neq m!-n!\)
• \((\m\cdot n)!\neq m!\cdot n!\)

A única operação que usamos bastante a respeito de fatoriais é sua simplificação quando eles se encontram em uma divisão. A ideia consiste em truncar o fatorial maior de modo conveniente.

Por exemplo, como:

$$7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$

Então, podemos “parar” o fatorial em um outro menor, ou seja, podemos reescrever \(7!\) como:

$$7!=6\cdot5\cdot4!$$

Pois, se abrirmos \(4!\) em sua definição, chegaremos na expressão inicial:

$$7!=6\cdot5\cdot\underbrace{4!}_{=4\cdot3\cdot2\cdot1}$$

Evidentemente, poderíamos ter reescrito \(7!\) de outras maneiras, tais como:

$$7!=7\cdot6!,\quad7!=7\cdot6\cdot5!$$

Usamos tal fato para simplificarmos frações envolvendo números fatoriais:

$$\frac{7!}{4!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!}=7\cdot6\cdot5=210$$

Basicamente, mantemos o número de menor fatorial e abrimos o maior até o valor do menor, a fim de que possamos cancelá-los entre si.

Um outro exemplo seria:

$$\frac{10!}{9!}=\frac{10\cdot9!}{9!}=10$$

A simplificação ilustrada acima é bastante utilizada também nas equações com fatoriais. 

Resolvamos, assim, a equação:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=6$$

A ideia, relembrando, consiste em abrir o maior fatorial até o menor. Claramente acima, o maior fatorial é \(n!\) que pode ser reescrito como:

$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!$$

Ou seja:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{(n-2)!}=n\cdot(n-1)$$

Obtém-se, então, a seguinte equação equivalente à primeira:

$$n\cdot(n-1)=5\Rightarrow n^{2}-n-6=0$$

As soluções são \(n=-2\) e \(n=3\). Mas, como fatorial é necessariamente um número inteiro positivo, então o conjunto-solução será:

$$S=\{3\}$$