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Matemática

Fórmula de Bhaskara

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 7/12/2018

Introdução

Fórmula de Bhaskara

Dada uma equação do 2º grau \(ax^{2}+bx+c=0\), onde \(a,b,c\in\mathbb{R},a\neq0\), resolvê-la significa determinar as suas raízes (ou zeros). Isto é, encontrar os valores de \(x\) que satisfazem a igualdade.

Por exemplo, as raízes da equação $$x^{2}-6x+8=0$$ são \(x=2\) e \(x=4\), pois:

  • $$2^{2}-6\cdot2+8=0$$
  • $$4^{2}-6\cdot4+8=0$$

Através da Fórmula de Bhaskara, podemos determinar as raízes de qualquer equação do 2º grau que é escrita na sua forma geral:

$$ax^{2}+bx+c=0$$

Assim, se \(x_{1}\) e \(x_{2}\) forem as suas raízes, então elas são dadas por:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Onde \(\Delta\) é o discriminante da equação:

$$\Delta=b^{2}-4ac$$

Por exemplo, na equação: 

$$x^{2}-5x+6=0$$ 

Temos que seus coeficientes são: 

$$a=1,b=-5,c=6$$

Assim, seu discriminante vale:

$$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6\Rightarrow\Delta=1$$

Portanto, as suas raízes serão:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$$

Ou seja:

  • $$x_{1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}\Rightarrow x_{1}=3$$
  • $$x_{2}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}\Rightarrow x_{2}=2$$

Isto é, os números 2 e 3 são aqueles que, ao serem substituídos na equação \(x^{2}-5x+6=0\), satisfazem a igualdade.

Para se resolver uma equação do 2º grau, basta aplicar os seguintes passos:

  • Determinar seus coeficientes \(a,b,c\);
  • Calcular \(\Delta\);
  • Encontrar os valores de \(x_{1}\) e \(x_{2}\) através da fórmula de Bhaskara.

Análise do discriminante

Através da determinação de \(\Delta\), temos as seguintes possibilidades:

  • se \(\Delta>0\), então a equação terá duas raízes reais distintas;
  • se \(\Delta=0\), então a equação terá duas raízes reais iguais;
  • se \(\Delta<0\), então a equação não terá raízes reais.

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(ENEM)

A temperatura \(T\) de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante do desligamento (\(t=0\)) e varia de acordo com a expressão (\(t\) em minutos):

$$T(t)=-\frac{t^{2}}{4}+400$$

Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge temperatura de 39 °C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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