Fração geratriz

Uma fração geratriz é a representação de uma dízima periódica em forma de fração irredutível, isto é, que não é possível simplificar.

Por exemplo, a fração geratriz da dízima \(0,333\ldots\) é 

$$\frac{1}{3}$$

enquanto a fração geratriz da dízima \(0,141414\ldots\) é

$$\frac{14}{99}$$

Note que ambas as frações acima são irredutíveis.

Um método prático para se determinar a fração geratriz de uma dízima consiste no uso de equações semelhantes. A ideia por trás de tal método consiste em obter duas equações, de modo que os números depois da vírgula na dízima sejam iguais entre si.

Por exemplo, determinemos a fração geratriz da dízima \(0,222\ldots\). Para isso, chamemos a fração de \(x\). Logo

$$x=0,222\ldots$$

Note que, se multiplicarmos a equação acima por 10, a vírgula na dízima irá andar uma casa para direita:

$$10x=2,222\ldots$$

Com isso, obtemos duas equações, de modo que os números depois da vírgula são iguais entre si. Partindo do pressuposto que, para se realizar uma subtração entre números decimais devemos ter vírgula embaixo de vírgula, então iremos fazer a segunda equação menos a primeira.

Do lado esquerdo, temos que

$$10x-x=9x$$

e do lado direito:

$$2,222\ldots-0,222\ldots$$

mas, claramente, à direita da vírgula, iremos ter apenas zeros, ou seja, o resultado da subtração acima é igual a 2, pois

$$2,000\ldots=2$$

Logo

$$9x=2$$

E resolvendo a equação do 1º grau encontrada, temos que

$$x=\frac{2}{9}$$

é a fração geratriz da dízima \(0,222\ldots\).

Determinemos agora a fração geratriz da dízima \(0,131313\ldots\). Chamando-a de \(x\), temos:

$$x=0,131313\ldots$$

Multiplicando a equação acima por 10, a vírgula andará uma casa para direita:

$$10x=1,31313\ldots$$

Note que, neste caso, os números à direita da vírgula entre as duas equações acima não são iguais entre si. Portanto, não podemos prosseguir com a subtração entre elas como feito anteriormente.

Assim, iremos multiplicar a equação inicial por 100. Como o número de zeros são dois, a vírgula andará duas casas para a direita:

$$100x=13,131313\ldots$$

de modo que encontramos duas equações

$$x=0,131313\ldots$$

e

$$100x=13,131313\ldots$$

cujos algarismos à direita das vírgulas são iguais entre si. Subtraindo-as, obtemos:

$$99x=13,000000\ldots$$

isto é

$$99x=13$$

E, portanto

$$x=\frac{13}{99}$$

é a fração geratriz da dízima \(0,131313\ldots\).

Para finalizar, tomemos a dízima \(1,0787878\ldots\). Sendo \(x\) sua fração geratriz, então

$$x=1,0787878\ldots$$

Multiplicando cada lado da equação por 10, temos:

$$10x=10,787878\ldots$$

e, prosseguindo do mesmo modo, multipliquemos ambos os lados da equação inicial por 100 e por 1000, de modo que a vírgula andará duas e três casas para a direita, respectivamente:

$$100x=107,878787\ldots$$

$$1000x=1078,787878\ldots$$

Veja que a segunda e a quarta equações possuem números à direita da vírgula iguais entre si:

$$10x=10,787878\ldots$$

e

$$1000x=1078,787878\ldots$$

Então é com elas que trabalharemos. Fazendo a de baixo menos a de cima:

$$1000x-10x=990x$$

e

$$1078,787878\ldots-10,787878\ldots$$

Logo

$$990x=1068,000000\ldots$$

$$\Rightarrow990x=1068$$

Assim

$$x=\frac{1068}{990}$$

Mas, é importante se atentar ao fato de que a fração acima não está na sua forma irredutível. Dividindo o numerador e o denominador por 2, obtemos:

$$\frac{534}{495}$$

que é a fração geratriz da dízima \(1,0787878\ldots\).