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Índice
Introdução
Definimos uma aplicação \(f\) como uma função bijetora (ou função bijetiva) se ela for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
No diagrama abaixo, a função \(f\) é bijetora pois, além de cada ponto distinto do seu domínio gerar uma imagem distinta (tornando-a injetora), temos que seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem (tornando-a sobrejetora).
Já o diagrama da função \(g\), ilustrado a seguir, mostra que ela não é bijetora, pois o seu contradomínio é diferente do seu conjunto-imagem, o que não a faz uma função sobrejetora. Além disso, \(g\) também não é injetora.
É evidente que existem funções que não são nem injetoras e nem sobrejetoras e, menos ainda, bijetoras.
Como, por definição, uma função bijetora é, antes de tudo, uma função injetora, então necessariamente o seu gráfico deve ser estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Principais conclusões
- Uma função bijetora é aquela que é injetora e sobrejetora simultaneamente, estabelecendo correspondência um-para-um entre domínio e contradomínio: cada elemento do domínio tem imagem distinta e todo elemento do contradomínio tem origem no domínio.
- Funciona assim: injetividade exige imagens distintas para pontos distintos do domínio; sobrejetividade exige que o conjunto imagem coincida com o contradomínio; juntas essas propriedades fazem com que cada valor do contradomínio seja atingido por exatamente um elemento.
- No contexto matemático, bijetividade formaliza correspondência biunívoca entre conjuntos, permitindo comparar tamanhos e estabelecer equivalências entre conjuntos; essa propriedade é fundamental em teoria dos conjuntos, álgebra e demonstrações que exigem reversibilidade.
- Em provas como o ENEM, erro comum é confundir contradomínio com conjunto-imagem ou assumir sobrejetividade sem verificar igualdade de imagens; para funções reais, checar se o gráfico é estritamente crescente ou estritamente decrescente ajuda a confirmar injetividade.
- Funções bijetoras garantem existência de inversa única, possibilitando inverter operações sem perda de informação; reconhecer bijetividade facilita resolver equações, reverter transformações e construir modelos matemáticos que preservam correspondência entre conjuntos.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Função bijetora para vestibular
UFF
Considere as funções \(f,g\) e \(h\), todas definidas em \([m,n]\) com imagens em \([p,q]\) representadas através dos gráficos a seguir:
Pode-se afirmar que:
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