Função composta

Antes de introduzirmos o conceito de função composta, iremos definir o que vem a ser uma função.

Consideremos dois conjuntos não vazios \(A\) e \(B\). Tomemos duas relações que interligam os elementos de \(A\) aos elementos de \(B\), conforme ilustram os diagramas abaixo. 

Observe que todo elemento de \(A\), no primeiro diagrama, está associado a um único elemento de \(B\). Porém, o mesmo não se pode dizer em relação ao diagrama da direita, uma vez que há um elemento do conjunto \(A\) se relacionando com outros dois do conjunto \(B\) e, ainda, existe um outro elemento do conjunto \(A\)que não se relaciona com ninguém de \(B\).

Ambos diagramas são relações, mas só um representa uma função.

A partir então de dois conjuntos não vazios \(A\) e \(B\), chamaremos a relação \(f\) de \(A\) em \(B\) uma função (e escrevemos \(f\colon A\to B\)) se todo elemento de \(A\) estiver relacionado a um único elemento de \(B\).

Observe então que, nos diagramas acima, apenas o primeiro é, de fato, uma função entre os conjuntos \(A\) e \(B\).

Ainda: se \(x\) for um elemento de \(A\) que estiver relacionado com um elemento \(y\) do conjunto \(B\) através de uma função \(f\), então escrevemos que \(y=f(x)\).

Então, no primeiro diagrama, por exemplo, temos que 1 está relacionado com 4 através da função \(f\), logo escrevemos \(f(1)=4\).

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Domínio, contradomínio

Se \(f\colon A\to B\) for uma função entre dois conjuntos não-vazios \(A\) e \(B\), então chamamos o conjunto \(A\) de domínio da função e o conjunto \(B\) é dito o seu contradomínio.

Para definirmos o que vem a ser uma função composta, vamos tomar três conjuntos não vazios \(A, B\) e \(C\) e duas funções entre eles: \(f\colon A\to B\) e \(g\colon B\to C\).

Observe que o domínio da função \(g\) é o contradomínio da função \(f\). Iremos construir uma função que “pula” esse domínio de \(g\), ou seja, uma aplicação que relaciona os elementos do domínio de \(f\) diretamente com os elementos do contradomínio da função \(g\), conforme ilustra o diagrama abaixo:

A tal relação \(h\colon A\to C\) chamamos de função composta entre \(f\) e \(g\) e escrevemos \(h(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))\). Lemos: \(g\) bola \(f\).

Note que, claramente, \((f\circ g)(x)\neq(g\circ f)(x)\).

Se tivermos uma função \(f\colon A\to B\) bijetora, isto é, sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então podemos determinar uma função que faz a operação contrária, isto é, relaciona os elementos do conjunto \(B\) com os elementos do conjunto \(A\): chamamos esta função de função inversa de \(f\) e escrevemos \(f^{-1}\).

Evidentemente, \(f^{-1}\colon B\to A\).

A função identidade é a função que relaciona cada número real com ele próprio, isto é, é a função \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por \(f(x)=x\).

Função inversa e função composta

A comutatividade da função composta, isto é, \(f\circ g=g\circ f\) só existirá se uma função for inversa da outra, isto é

$$f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f$$

E além disso, a composta entre uma função e sua inversa é igual a função identidade, ou seja:

$$f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=x$$