Função exponencial

O demógrafo e economista britânico Thomas Malthus afirmou, em 1798, que uma população cresce exponencialmente. Veremos o que isso significa a partir do entendimento de função exponencial.

Thomas Malthus 

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Uma função é dita exponencial quando é da forma:

\(f(x) = a^x\)

Onde a é maior que 0 e diferente de 1: \(a > 0 \qquad a \neq 1\)

É recomendado verificar as propriedades da potenciação para melhor compreendimento.

Sabendo da definição e as propriedades da potenciação, podemos justificar o motivo da base ter que ser maior que 0 e diferente de 1:

• Se a for igual a 1, tem-se uma função constante:
   
   \(f(x) = 1^x = 1\), para qualquer \(x (\forall \space x)\).
• Se a for menor que 0 (a < 0), por exemplo a = -2, teremos:
   
  \(f(x) = (-2)^x\)
   
   Esse gráfico possui descontinuidades, ou seja, para alguns valores de x, y não irá pertencer aos reais. Por exemplo:
   
   Para \(x = \frac{1}{4} \rightarrow f(\frac{1}{4}) = -(2)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{-(2)} \notin \mathbb{R}\)

O comportamento da função exponencial é muito característico e pode ser facilmente visto com alguns exemplos:

Exemplo 1: \(f(x) = 2^x\)

Perceba que a função cresce extremamente rápido a medida que a grandeza x tende ao infinito: (\(x \rightarrow + \infty\))

Além disso, diminui tão rapidamente à medida que a grandeza x tende ao infinito negativo: (\(x \rightarrow - \infty\)).

Isso se deve à propriedade da potenciação: 

\(a ^ -x = \frac{1}{a ^ x}\)

Mas um detalhe importante que deve ser mencionado é em relação à função exponencial na forma: \(f(x) = a ^ x\)

Essa função nunca cruza com o eixo das abscissas. O seu valor tende a 0 - se torna infinitezimal - mas nunca é igual a 0. Isso se deve ao fato de que não existe um número pertencente aos reais tal que \(a ^ x = 0\). Nesse caso, o eixo das abscissas recebe o nome de assíntota.

Exemplo 2: \(f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^2\)

Perceba que a mesma coisa acontece, mas ao contrário. A função cresce com valores negativos de x e decresce com valores positivos de x.

Em uma função exponencial:

• a > 1: a função é crescente.
• 0 < a < 1: a função é decrescente.

Perceba, também, que ambos os gráfico passam pelo ponto (0; 1). Isso se deve ao fato de que, para qualquer valor de a real (\(a \in \mathbb{R}\)), \(a^0 = 1\)

Algumas mudanças à forma básica da função podem gerar leves mudanças no gráfico da função.

Soma de uma constante

Exemplo: \(2^x\) e \(2^x + 2\)

Perceba que a soma de uma constante à função gerou um deslocamento na direção do eixo y, e que agora a assíntota da função está na reta y = 2.

Multiplicação por uma constante

Exemplo: \(2^x\) e \(3 \cdot 2^x\)

Perceba que agora o gráfico tem um crescimento mais acentuado, juntamente com um decrescimento mais suave.

• Juros: valor que vai aumentando o capital inicial ou a dívida. Pode ser constante ou variável
• Taxa de juros(i%): índice com valor constante apresentado na forma de porcentagem. Representa a porcentagem a ser aplicada no capital

A forma mais comum de cobrança de juros é com juros composto. Nesse caso, o juros vai aumentando após cada período.

Seja C_0 o capital inicial, i% a taxa aplicada a cada período e n o número de periodos:

\(C_0 \\C_1 = C_0 + i \space \% \space \cdot C_0 = C_0 \cdot (1 + i \space \%) \\ C_2 = C_1 + i \space \% \space \cdot C_1 = C_1 \cdot (1 + i \space \%) = C_0(1 + i \space \%)^2 \\ C_3 = C_2 + i \space \% \space \cdot C_2 = C_2 \cdot (1 + i \space \%) = C_0(1 + i \space \%)^3\)

De uma forma geral:

\(C_n = C_0 \cdot (1 + i \space \%) ^ n\)