Quer saber quando a vaga ideal chegar? A gente te avisa!
Índice
Introdução
Uma aplicação \(f\) será uma função injetora (ou função injetiva) se elementos diferentes do seu domínio tiverem imagens diferentes.
Por exemplo, tomemos a função \(f\colon A\to B\) ilustrada pelo diagrama abaixo:
Observe que cada ponto de \(A\) chega a um ponto diferente em \(B\). Então, \(f\) é injetora.
Agora, se tomarmos a função \(g\colon A\to B\) a seguir:
Observamos que dois pontos diferentes (o 1 e o 3), chegam na mesma imagem (4). Ou seja, \(g\) não é uma função injetora.
Formalmente, temos que uma função \(f\colon A\to B\) será injetora caso, tomando dois pontos \(x_{1}\) e \(x_{2}\) do seu domínio de modo que se:
$$x_{1}\neq x_{2}$$
Então:
$$f(x_{1})\neq f(x_{2}\)$$
Ou de maneira análoga:
$$f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$$
A expressão acima talvez torne a definição de função injetora mais fácil: ela diz que, se dois pontos tiverem a mesma imagem (\(f(x_{1})=f(x_{2})\)), então eles necessariamente são iguais \(x_{1}=x_{2}\).
Para verificar como isso se aplica, tomemos a função \(g\) exemplificada anteriormente:
Note que \(f(1)=4\) e \(f(3)=4\). Ou seja:
$$f(1)=f(3)$$
Porém:
$$1\neq3$$
Ou seja: de fato, \(g\) não é injetora pois temos dois pontos diferentes gerando imagens iguais.
Um outro exemplo de função não injetora é:
$$f(x)=x^{2}$$
Ao tomarmos os pontos \(2\) e \(-2\), que evidentemente são diferentes entre si, obtemos a mesma imagem através de \(f\):
- $$f(2)=2^{2}=4$$
- $$f(-2)=(-2)^{2}=4$$
Principais conclusões
- Função injetora é uma aplicação em que elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes; formalmente, f(x1)=f(x2) implica x1=x2, ou equivalentemente x1≠x2 implica f(x1)≠f(x2).
- Para testar injetividade, mostre que não existem x1≠x2 com f(x1)=f(x2); use a forma contrária, testes algébricos ou análise do diagrama; por exemplo f(x)=x² não é injetora em ℝ porque f(2)=f(−2)=4.
- Contexto matemático: graficamente funções injetoras aparecem como curvas estritamente crescentes ou estritamente decrescentes; diagramas que ligam cada elemento do domínio a imagens distintas ilustram a propriedade um‑para‑um.
- No ENEM, erro comum é assumir injetividade sem prova; responda verificando f(x1)=f(x2)⇒x1=x2 ou analisando gráfico/diagrama; testes algébricos e exemplos simétricos, como x², costumam aparecer para confundir.
- Injetividade garante correspondência unívoca entre domínio e imagem, requisito para existência de função inversa sobre a imagem; evita ambiguidade em modelos matemáticos e assegura identificação única de inputs em problemas aplicados.
O gráfico de uma função injetora
Graficamente, a função injetora é estritamente crescente (só cresce):
Ou estritamente decrescente (só decresce):
Exercício de fixação
Exercícios sobre Função injetora para vestibular
IME
Considere os conjuntos \(A=\{(1,2),(1,3),(2,3)\}\) e \(B=\{1,2,3,4,5\}\), e seja a função \(f\colon A\to B\) tal que \(f(x,y)=x+y\). É possível afirmar que \(f\) é uma função:
Prepare-se para o Enem com a Quero Bolsa!
Receba conteúdos e notícias sobre o exame diretamente no seu e-mail