Função injetora

Uma aplicação \(f\) será uma função injetora (ou função injetiva) se elementos diferentes do seu domínio tiverem imagens diferentes.

Por exemplo, tomemos a função \(f\colon A\to B\) ilustrada pelo diagrama abaixo:

Observe que cada ponto de \(A\) chega a um ponto diferente em \(B\). Então, \(f\) é injetora. 

Agora, se tomarmos a função \(g\colon A\to B\) a seguir:

Observamos que dois pontos diferentes (o 1 e o 3), chegam na mesma imagem (4). Ou seja, \(g\) não é uma função injetora.

Formalmente, temos que uma função \(f\colon A\to B\) será injetora caso, tomando dois pontos \(x_{1}\) e \(x_{2}\) do seu domínio de modo que se:

$$x_{1}\neq x_{2}$$

Então:

$$f(x_{1})\neq f(x_{2}\)$$

Ou de maneira análoga:

$$f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$$

A expressão acima talvez torne a definição de função injetora mais fácil: ela diz que, se dois pontos tiverem a mesma imagem (\(f(x_{1})=f(x_{2})\)), então eles necessariamente são iguais \(x_{1}=x_{2}\).

Para verificar como isso se aplica, tomemos a função \(g\) exemplificada anteriormente:

Note que \(f(1)=4\) e \(f(3)=4\). Ou seja:

$$f(1)=f(3)$$

Porém:

$$1\neq3$$

Ou seja: de fato, \(g\) não é injetora pois temos dois pontos diferentes gerando imagens iguais.

Um outro exemplo de função não injetora é:

$$f(x)=x^{2}$$

Ao tomarmos os pontos \(2\) e \(-2\), que evidentemente são diferentes entre si, obtemos a mesma imagem através de \(f\):

• $$f(2)=2^{2}=4$$
• $$f(-2)=(-2)^{2}=4$$

Graficamente, a função injetora é estritamente crescente (só cresce):

Ou estritamente decrescente (só decresce):