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Matemática

Função injetora

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 2/5/2019

Introdução

Uma aplicação \(f\) será uma função injetora (ou função injetiva) se elementos diferentes do seu domínio tiverem imagens diferentes.

Por exemplo, tomemos a função \(f\colon A\to B\) ilustrada pelo diagrama abaixo:


Observe que cada ponto de \(A\) chega a um ponto diferente em \(B\). Então, \(f\) é injetora. 

Agora, se tomarmos a função \(g\colon A\to B\) a seguir:


Observamos que dois pontos diferentes (o 1 e o 3), chegam na mesma imagem (4). Ou seja, \(g\) não é uma função injetora.

Formalmente, temos que uma função \(f\colon A\to B\) será injetora caso, tomando dois pontos \(x_{1}\) e \(x_{2}\) do seu domínio de modo que se:

$$x_{1}\neq x_{2}$$

Então:

$$f(x_{1})\neq f(x_{2}\)$$

Ou de maneira análoga:

$$f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$$

A expressão acima talvez torne a definição de função injetora mais fácil: ela diz que, se dois pontos tiverem a mesma imagem (\(f(x_{1})=f(x_{2})\)), então eles necessariamente são iguais \(x_{1}=x_{2}\).

Para verificar como isso se aplica, tomemos a função \(g\) exemplificada anteriormente:


Note que \(f(1)=4\) e \(f(3)=4\). Ou seja:

$$f(1)=f(3)$$

Porém:

$$1\neq3$$

Ou seja: de fato, \(g\) não é injetora pois temos dois pontos diferentes gerando imagens iguais.

Um outro exemplo de função não injetora é:

$$f(x)=x^{2}$$

Ao tomarmos os pontos \(2\) e \(-2\), que evidentemente são diferentes entre si, obtemos a mesma imagem através de \(f\):

  • $$f(2)=2^{2}=4$$
  • $$f(-2)=(-2)^{2}=4$$

O gráfico de uma função injetora

Graficamente, a função injetora é estritamente crescente (só cresce):


Ou estritamente decrescente (só decresce):



Exercícios

Exercício 1
(IME)

Considere os conjuntos \(A=\{(1,2),(1,3),(2,3)\}\) e \(B=\{1,2,3,4,5\}\), e seja a função \(f\colon A\to B\) tal que \(f(x,y)=x+y\). É possível afirmar que \(f\) é uma função:

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