Geometria Analítica

Resolver problemas geométricos utilizando métodos da Geometria Plana e Espacial nem sempre é a uma tarefa fácil. 

Ao longo dos séculos, a humanidade encontrou uma saída: estabelecer uma relação entre álgebra e geometria. Com isso em mente, surgiu a geometria analítica, cuja fundamentação é comumente atribuída ao matemático René Descartes. 

Em sua homenagem, denominou-se um conceito fundamental para a geometria analítica, que veremos a seguir.

O plano cartesiano é um plano bidimensional, cujas dimensões são definidas por um eixo horizontal e um eixo vertical. Tais eixos são retas orientadas e ortogonais (perpendiculares entre si) que servem de parâmetro para localizações no espaço. Isso é feito por meio de coordenadas – por isso, são chamados de eixos coordenados.

Conforme a figura abaixo, o ponto zero dos dois eixos marca a origem do plano cartesiano. O eixo horizontal é denominado eixo x, enquanto o eixo vertical é denominado eixo y.

O plano cartesiano pode ser dividido em quatro partes, ou seja, quatro quadrantes. Essa divisão é bastante útil para a trigonometria, mas também servirá para localizar mais facilmente objetos no plano. Os quadrantes serão enumerados em sentido anti-horário, da seguinte forma:

Agora que já se definiu o plano cartesiano, ou seja, o espaço onde os pontos serão localizados, partiremos para localizar os pontos de fato. 

Como o plano contém dois eixos, serão necessárias duas informações para descobrir o lugar do ponto. Essas informações são denominadas par ordenado. 

Em outras palavras, precisaremos do valor de x (posição horizontal ou abscissa) e do valor de y (posição vertical ou ordenada).

Dessa forma, um ponto A com coordenada 3 e ordenada -2 é expresso como A(3, -2). 

Confira exemplos de pontos no plano cartesiano quadriculado abaixo. Foram indicados os pontos P1(2, 3), P2(-3, 2), P3(-4, -1) e P4(5, -4).

Pode-se dizer também que, coincidentemente, cada ponto está em um quadrante diferente: P1 está no primeiro, P2 está no segundo, e assim sucessivamente.

Observação: o eixo x também poderá ser chamado de eixo das abscissas, e o eixo y, de eixo das ordenadas.

Acima, estão indicadas as coordenadas cartesianas. Há outras formas de expressar a localização de um ponto, como as coordenadas polares, que utilizam os valores de um raio e de um ângulo. Esse conteúdo, no entanto, não é estudado a nível de Ensino Médio.

Uma das aplicações mais simples da Geometria Analítica é o cálculo da distância entre dois pontos. Para isso, consideremos um ponto A(x1, y1) e um ponto B(x2, y2). A distância entre os pontos é dada pela fórmula:

Essa fórmula nada mais é do que uma aplicação do Teorema de Pitágoras, como veremos a seguir. Vamos considerar os dois pontos genéricos A(x1;y1) B(x2;y2).

Agora, traçamos a distância AB. Além disso, traçamos uma vertical por B e uma horizontal por A (poderia ser ao contrário também), de modo que o encontro das duas semirretas forme um ângulo reto. Dessa forma, AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo, como ilustrado abaixo:

Calcular a distância AB nada mais é do que calcular a hipotenusa desse triângulo. Como temos seus dois catetos, que medem (x2 - x1) e (y2 - y1), podemos aplicar o Teorema de Pitágoras e encontrar a hipotenusa, que mede d:

Exemplo

Dado um ponto A, de abscissa 4 e ordenada 4, e um ponto B, de abscissa 2 e ordenada 1, encontre a distância entre os pontos.

Os pontos A e B podem ser expressos por A(4, 4) e B(2, 1). No plano cartesiano,

Traçando o triângulo retângulo,

Pelo teorema de Pitágoras

Observação: A fórmula também poderia ter sido aplicada diretamente.

A geometria analítica não está restrita a somente duas dimensões. Podemos adicionar um terceiro eixo, denominado apenas de eixo z. Para cada questão, deve-se atentar a nomenclatura dos eixos. Como exemplo, vamos considerar um ponto P(4, 3, 5).