Geometria Plana

Foi o matemático grego Euclides de Alexandria, na sua obra Os Elementos, quem organizou de maneira sistemática os axiomas (afirmações que são aceitas sem demonstração), resultados tais como proposições e teoremas de geometria plana, que também hoje é conhecida como geometria euclidiana em homenagem ao matemático.

A geometria euclidiana é aquela que estuda as figuras geométricas sem volume, que existem apenas no plano, ou seja, triângulos, quadriláteros, circunferências, polígonos etc.

O ponto, a reta, e o plano são os três objetos iniciais no estudo da geometria euclidiana. Eles são chamados de entes (ou conceitos) primitivos porque não possuem definição. 

Através deles, construímos a geometria plana que hoje conhecemos, isto é, eles servem de ferramentas na elaboração de conceitos mais completos.

Euclides, a fim de conseguir demonstrar suas proposições, fez inicialmente um total de 23 definições:

• Ponto é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma.
• Linha é o que tem comprimento sem largura.
• As extremidades da linha são pontos.
• Linha reta é aquela que está posta igualmente entre as suas extremidades.
• Superfície é aquilo que tem comprimento e largura.
• As extremidades da superfície são linhas.
• Superfície plana é aquela que as retas sobre si foram traçadas de maneira uniforme.
• Ângulo plano é a inclinação de duas linhas, que se cruzam em um plano, mas sem estarem em uma mesma reta.
• Ângulo plano retilíneo é aquele quando as linhas que o contém são retas.
• Quando uma linha reta, colocada sobre outra linha reta, fizer com esta dois ângulos iguais, então cada um destes ângulos iguais se chama ângulo reto; e a linha incidente se diz perpendicular a outra linha.
• Ângulo obtuso é aquele maior que um ângulo reto.
• Ângulo agudo é aquele menor que um ângulo reto.
• Fronteira é uma extremidade de alguma coisa.
• Figura é um espaço fechado por uma ou mais fronteiras.
• Círculo é uma figura plana fechada por uma só linha chamada de circunferência, de modo que todas as linhas retas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circunferência, são iguais entre si.
• O dito ponto se chama centro do círculo.
• Diâmetro do círculo é uma linha reta que passa pelo centro e termina por ambas as partes na circunferência.
• Semicírculo é uma figura compreendida entre o diâmetro e aquela parte da circunferência do círculo, que é cortada pelo diâmetro.
• Figuras retilíneas são aquelas formadas usando linhas retas.
• As triláteras são as formadas com três linhas retas.
• As quadriláteras são as formadas com quatro linhas retas.
• As multiláteras são as aquelas formadas por mais de quatro linhas retas.
• Linhas paralelas, que existindo no mesmo plano, e prolongando-se de maneira indefinida, nunca se cruzam.

É interessante notar que muitas das definições acima não seguem o rigor que a matemática moderna (e a geometria plana) exige, porém é inegável a importância da obra para o desenvolvimento da geometria plana que hoje conhecemos.

Em sua obra de geometria plana, Euclides também apresentou os seguintes axiomas:

• As coisas que são iguais a uma terceira são iguais entre si.
• Se a coisas iguais se juntarem a outras iguais, então todos serão iguais.
• Se de coisas iguais forem subtraídas as mesmas coisas, os restos serão iguais.
• Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
• O todo é maior do que qualquer uma de suas partes.

E também tais postulados acerca da geometria plana:

• Dados dois pontos, existe um segmento de reta que os une.
• Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para se construir uma reta.
• Dado um ponto qualquer e uma distância qualquer, um círculo pode ser construído com centro naquele ponto, sendo o raio igual à distância dada.
• Todos os ângulos retos são iguais.
• Se uma linha reta encontrar outra reta de modo que os ângulos internos de um mesmo lado forem agudos, então estas duas retas, em algum momento, se cruzarão do lado da primeira reta onde estão os dois ângulos.