Matemática
Identidades trigonométricas
Publicado por Marcus Vinicius | Última atualização: 19/6/2025
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Índice
Introdução
As identidades trigonométricas são igualdades que envolvem uma ou mais funções trigonométricas.
Principais conclusões
- Identidades trigonométricas são igualdades que envolvem uma ou mais funções trigonométricas, estabelecendo relações exatas entre seno, cosseno, tangente e recíprocas para qualquer arco x; servem como ferramentas algébricas para transformar expressões trigonométricas.
- Operam por manipulações algébricas e relações fundamentais, sendo a base sin²x+cos²x=1; dessa relação derivam sin²x=1−cos²x e cos²x=1−sin²x, e também tan=sin/cos e sec,csc,cot como recíprocas, permitindo substituir e reduzir termos.
- Têm origem geométrica demonstrável pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo e à circunferência trigonométrica; conectam a análise de arcos e razões angulares, explicando propriedades periódicas e simetrias das funções trigonométricas.
- No ENEM, atenção a domínios e simplificações: usar recíprocas exige checar zeros de seno/cosseno antes de dividir; tarefas interdisciplinares pedem interpretar expressões trigonométricas em contextos geométricos ou problemas aplicados.
- Relevância prática: permitem simplificar e resolver equações trigonométricas, reescrever expressões para integração e cálculo, e modelar fenômenos periódicos; dominá‑las facilita resolução eficiente de problemas em matemática e ciências aplicadas.
Relação fundamental da trigonometria
A relação fundamental da trigonometria, a qual pode ser demonstrada através do Teorema de Pitágoras, nos diz que, para qualquer arco de medida \(x\), tem-se:
$$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$$
Dela, derivam-se outras igualdades que costumamos utilizar:
$$\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$$
$$\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$$
Funções inversas
As seguintes identidades relacionam as funções inversas com seno, cosseno e tangente:
$$\sec x=\frac{1}{\cos x}$$
$$\csc x=\frac{1}{\sin x}$$
$$\cot x=\frac{1}{\tan x}$$
Além disso, é possível mostrar pela própria definição das razões trigonométricas fundamentais que
$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$
E, portanto, também temos
$$\cot x=\frac{1}{\tan x}$$
Das definições acima, temos que
$$\sec^{2}x-\tan^{2}x=1$$
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Identidades trigonométricas para vestibular
UFGO
Simplificando a expressão:
$$\frac{\tan a+\tan b}{\cot a+\cot b}$$
obtém-se:
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