Inequações do 1º grau: como resolver e exercícios resolvidos

Uma inequação do 1º grau é toda desigualdade que envolve expressões algébricas de modo que a incógnita esteja em primeiro grau, ou seja, elevado a 1.

São assim exemplos de inequações do 1º grau:

• \(2x+3\geq4\)
• \(-x+5\leq x-3\)
• \(3-x>2x+18\)
• \(15-\frac{x}{2}<0\)

A resolução de uma inequação do 1º grau é totalmente análoga à equação do 1º grau. Basicamente: deixar o que é letra de um lado e o que não é, do outro.

Iremos resolver assim, a inequação, em \(\mathbb{R}\),

$$2x+3\leq9$$

Primeiro, devemos isolar a incógnita. Como 3 está positivo, passa para o outro lado negativo:

$$2x\leq9-3$$

ou seja

$$2x\leq6$$

e como 2 está multiplicando \(x\), passa para o outro lado dividindo o 6:

$$x\leq\frac{6}{2}$$

E, portanto

$$x\leq3$$

Isto é, a solução da inequação são todos os números reais menores ou iguais a 3. E podemos escrever seu conjunto-solução de duas maneiras: usando notação de conjunto propriamente dita:

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq3\}$$

ou usando notação de intervalo

$$S=]-\infty,3]$$

O modo de resolução é igual para a inequação

$$4-3x<2x-12$$

Deixando de um lado o que é letra e do outro, o que é número, obtemos:

$$-3x-2x<-12-4$$

onde \(2x\) estava negativo e, então, passamos para positivo; e 4, que estava positivo, passamos para negativo. Simplificando:

$$-5x<-17$$

Aqui estamos diante da única diferença em relação à resolução comparada a uma equação do 1º grau. Neste passo, devemos multiplicar por \((-1)\) a fim de trocar o sinal da incógnita que está negativo.

Porém, numa inequação (seja do 1º grau ou não), ao multiplicarmos por \((-1)\), além de trocarmos os sinais de cada termo, devemos inverter o sinal de desigualdade. 

Como na nossa inequação o sinal inicial é de menor \(<\), invertendo-o, ficará o sinal de maior \(>\). Isto é:

$$-5x<-17\quad\cdot(-1)$$

$$5x>17$$

E voltamos a resolver normalmente: 5 está multiplicando, passa dividindo:

$$x>\frac{17}{5}$$

Portanto, considerando o conjunto-universo como os números reais, segue que

$$S=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x>\frac{17}{5}\right\}$$

ou ainda

$$S=\left]\frac{17}{5},+\infty\right[$$