Inequações do 2º grau

Uma inequação do 2º grau é toda desigualdade que envolve a segunda potência de uma incógnita. 

De maneira mais simples, uma inequação do 2º grau é toda equação do 2º grau que, ao invés de ter o sinal de igual (=), tem o sinal de maior (\(>\)), menor (\(<\)), maior ou igual (\(\geq\)) ou menor ou igual (\(\leq\)).

São exemplos de inequações do 2º grau:

• \(2x^{2}+4x\geq5\)
• \(3x-x^{2}\leq0\)
• \(x^{2}>0\)
• \(5x^{2}<-7x^{2}+1\)

A resolução de uma inequação do 2º grau se dá basicamente em três passos:

Para ilustrar, vamos resolver a inequação 

$$x^{2}-5x\geq-6$$

Inicialmente, devemos deixar um dos lados da desigualdade igual a zero. Para isto, passamos o 6 negativo, positivo:

$$x^{2}-5x+6\geq0$$

Agora, encontramos as raízes da função correspondente:

$$f(x)=x^{2}-5x+6$$

isto é, resolvemos a equação do 2º grau

$$x^{2}-5x+6=0$$

Pela Fórmula de Bhaskara, temos que as raízes são

$$x=2\quad\text{ou}\quad x=3$$

A função correspondente tem seu coeficiente \(a=1\), que é positivo, logo, a sua parábola tem concavidade para cima. Um esboço seria:

E fazendo a análise de sinal da função, temos:

ou seja, à esquerda de \(x=2\) e à direita de \(x=3\), a função assume valores positivos, enquanto entre 2 e 3, ela assume valores negativos; já nos pontos \(x=2\) e \(x=3\), a função se anula. Como estamos resolvendo a inequação

$$x^{2}-5x+6\geq0$$

ou seja, buscamos os valores de \(x\) que tornam a função ou maior ou igual a zero, pela análise do sinal, temos que são aqueles tais que

$$x\leq2\quad\text{ou}\quad x\geq3$$

Portanto, a solução final da inequação inicial é

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq2\;\text{ou}\;x\geq3\}$$

Iremos resolver agora a inequação 

$$9-x^{2}>0$$

Tomando-se a função correspondente

$$f(x)=9-x^{2}$$

as suas raízes são \(x=\pm3\) e sua parábola tem concavidade para baixo, pois \(a=-1<0\). Fazendo-se a análise do sinal, obtemos:

Note que a inequação pede os valores de \(x\) que tornam a função positiva. Pelo esboço acima, temos que o gráfico está acima do eixo \(x\), entre -3 e 3. Logo, a solução final da inequação é

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid-3<x<3\}$$