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Índice
Introdução
Uma inequação do 2º grau é toda desigualdade que envolve a segunda potência de uma incógnita.
De maneira mais simples, uma inequação do 2º grau é toda equação do 2º grau que, ao invés de ter o sinal de igual (=), tem o sinal de maior (\(>\)), menor (\(<\)), maior ou igual (\(\geq\)) ou menor ou igual (\(\leq\)).
São exemplos de inequações do 2º grau:
- \(2x^{2}+4x\geq5\)
- \(3x-x^{2}\leq0\)
- \(x^{2}>0\)
- \(5x^{2}<-7x^{2}+1\)
A resolução de uma inequação do 2º grau se dá basicamente em três passos:
Para ilustrar, vamos resolver a inequação
$$x^{2}-5x\geq-6$$
Inicialmente, devemos deixar um dos lados da desigualdade igual a zero. Para isto, passamos o 6 negativo, positivo:
$$x^{2}-5x+6\geq0$$
Agora, encontramos as raízes da função correspondente:
$$f(x)=x^{2}-5x+6$$
isto é, resolvemos a equação do 2º grau
$$x^{2}-5x+6=0$$
Pela Fórmula de Bhaskara, temos que as raízes são
$$x=2\quad\text{ou}\quad x=3$$
A função correspondente tem seu coeficiente \(a=1\), que é positivo, logo, a sua parábola tem concavidade para cima. Um esboço seria:
E fazendo a análise de sinal da função, temos:
ou seja, à esquerda de \(x=2\) e à direita de \(x=3\), a função assume valores positivos, enquanto entre 2 e 3, ela assume valores negativos; já nos pontos \(x=2\) e \(x=3\), a função se anula. Como estamos resolvendo a inequação
$$x^{2}-5x+6\geq0$$
ou seja, buscamos os valores de \(x\) que tornam a função ou maior ou igual a zero, pela análise do sinal, temos que são aqueles tais que
$$x\leq2\quad\text{ou}\quad x\geq3$$
Portanto, a solução final da inequação inicial é
$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq2\;\text{ou}\;x\geq3\}$$
Iremos resolver agora a inequação
$$9-x^{2}>0$$
Tomando-se a função correspondente
$$f(x)=9-x^{2}$$
as suas raízes são \(x=\pm3\) e sua parábola tem concavidade para baixo, pois \(a=-1<0\). Fazendo-se a análise do sinal, obtemos:
Note que a inequação pede os valores de \(x\) que tornam a função positiva. Pelo esboço acima, temos que o gráfico está acima do eixo \(x\), entre -3 e 3. Logo, a solução final da inequação é
$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid-3<x<3\}$$
Principais conclusões
- Uma inequação do 2º grau é uma desigualdade que envolve a incógnita ao quadrado; resulta de uma equação quadrática em que o sinal = é substituído por >, <, ≥ ou ≤ e busca-se o conjunto de valores de x que tornam a expressão verdadeira, como 2x²+4x≥5.
- Resolvem-se em etapas: colocar todos os termos em um lado formando f(x) (ex.: f(x)≥0), calcular as raízes por Bhaskara, esboçar a parábola conforme o sinal de a e analisar o sinal em cada intervalo entre raízes para obter a solução.
- No contexto matemático, a inequação vincula álgebra e geometria analítica: as raízes dividem a reta em intervalos, a concavidade (sinal de a) define onde a parábola está acima ou abaixo do eixo x e Bhaskara fornece as soluções que delimitam esses intervalos.
- No ENEM, erros comuns incluem não isolar zero antes de achar as raízes, esquecer de incluir as raízes em ≥/≤, confundir a concavidade ao avaliar sinais e testar intervalos incorretamente; questões conectam análise algébrica e interpretação de gráficos.
- Relevância prática: inequações quadráticas delimitam intervalos válidos em modelos e problemas de otimização, facilitam interpretação gráfica de comportamentos parabólicos e são ferramentas essenciais para resolver questões aplicadas e exercícios em provas como o ENEM.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Inequações do 2º grau para vestibular
UFLA
O conjunto de todos os valores reais de \(X\), para os quais o gráfico de \(P(X)=8-X^{2}\) está acima do gráfico de \(Q(X)=3X^{2}\) (isto é, \(P(X)>Q(X)\)) é:
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