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Matemática

Inequações do 2º grau

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 22/5/2019

Introdução

Uma inequação do 2º grau é toda desigualdade que envolve a segunda potência de uma incógnita

De maneira mais simples, uma inequação do 2º grau é toda equação do 2º grau que, ao invés de ter o sinal de igual (=), tem o sinal de maior (\(>\)), menor (\(<\)), maior ou igual (\(\geq\)) ou menor ou igual (\(\leq\)).

São exemplos de inequações do 2º grau:

  • \(2x^{2}+4x\geq5\)
  • \(3x-x^{2}\leq0\)
  • \(x^{2}>0\)
  • \(5x^{2}<-7x^{2}+1\)

A resolução de uma inequação do 2º grau se dá basicamente em três passos:

  • Determinação das raízes da função correspondente;
  • Esboço do gráfico;
  • Análise do sinal e solução final.
  • Para ilustrar, vamos resolver a inequação 

    $$x^{2}-5x\geq-6$$

    Inicialmente, devemos deixar um dos lados da desigualdade igual a zero. Para isto, passamos o 6 negativo, positivo:

    $$x^{2}-5x+6\geq0$$

    Agora, encontramos as raízes da função correspondente:

    $$f(x)=x^{2}-5x+6$$

    isto é, resolvemos a equação do 2º grau

    $$x^{2}-5x+6=0$$

    Pela Fórmula de Bhaskara, temos que as raízes são

    $$x=2\quad\text{ou}\quad x=3$$

    A função correspondente tem seu coeficiente \(a=1\), que é positivo, logo, a sua parábola tem concavidade para cima. Um esboço seria:


    E fazendo a análise de sinal da função, temos:


    ou seja, à esquerda de \(x=2\) e à direita de \(x=3\), a função assume valores positivos, enquanto entre 2 e 3, ela assume valores negativos; já nos pontos \(x=2\) e \(x=3\), a função se anula. Como estamos resolvendo a inequação

    $$x^{2}-5x+6\geq0$$

    ou seja, buscamos os valores de \(x\) que tornam a função ou maior ou igual a zero, pela análise do sinal, temos que são aqueles tais que

    $$x\leq2\quad\text{ou}\quad x\geq3$$

    Portanto, a solução final da inequação inicial é

    $$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq2\;\text{ou}\;x\geq3\}$$

    Iremos resolver agora a inequação 

    $$9-x^{2}>0$$

    Tomando-se a função correspondente

    $$f(x)=9-x^{2}$$

    as suas raízes são \(x=\pm3\) e sua parábola tem concavidade para baixo, pois \(a=-1<0\). Fazendo-se a análise do sinal, obtemos:


    Note que a inequação pede os valores de \(x\) que tornam a função positiva. Pelo esboço acima, temos que o gráfico está acima do eixo \(x\), entre -3 e 3. Logo, a solução final da inequação é

    $$S=\{x\in\mathbb{R}\mid-3<x<3\}$$


    Exercícios

    Exercício 1
    (UFLA)

    O conjunto de todos os valores reais de \(X\), para os quais o gráfico de \(P(X)=8-X^{2}\) está acima do gráfico de \(Q(X)=3X^{2}\) (isto é, \(P(X)>Q(X)\)) é:

    Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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