Inequações exponenciais

Uma inequação exponencial é toda desigualdade do tipo que envolve funções exponenciais, como por exemplo

$$2^{x}\leq4,\quad3^{2x}>9^{x+1},\quad125^{x-1}\geq1,\quad64^{3x+2}<16^{x^{2}}$$

A resolução de uma inequação exponencial se assemelha bastante a de uma equação exponencial. A ideia inicial consiste em deixar as potências envolvidas na mesma base e, ainda, apenas uma potência em cada lado da desigualdade.

Além disso, sendo \(a\) a base da potência, então

• se \(a>1\), mantém-se o sinal de desigualdade, por exemplo:
  $$a^{x}<a^{y}\Rightarrow x<y$$
• se \(0<a<1\), inverte-se o sinal de desigualdade, por exemplo:
  $$a^{x}<a^{y}\Rightarrow x>y$$

Consideremos então a inequação

$$2^{x}\leq16$$

Reescrevendo 16 como uma potência de 2 através da decomposição em fatores primos, temos que

$$2^{x}\leq2^{4}$$

Note que a base vale 2 e é maior que 1, logo, iremos manter o sinal de desigualdade:

$$2^{x}\leq2^{4}\Rightarrow x\leq4$$

Portanto, a solução final da inequação será

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq4\}$$

Tomando-se agora a inequação exponencial

$$\left(\frac{1}{9}\right)^{x+1}<\frac{1}{27}$$

Podemos reescrever \(9=3^{2}\) e \(27=3^{3}\), assim

$$\left[\left(\frac{1}{3}\right)\right]^{x+1}<\left(\frac{1}{3}\right)^{3}$$

isto é

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2\cdot(x+1)}<\left(\frac{1}{3}\right)^{3}$$

$$\Rightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+2}<\left(\frac{1}{3}\right)^{3}$$

como a base vale 

$$\frac{1}{3}$$

que é um número entre 0 e 1, então invertemos o sinal de desigualdade ao trabalharmos com os expoentes:

$$2x+2>3$$

e obtemos uma inequação do 1º grau, cuja resolução se dá isolando-se a incógnita

$$2x>3-2\Rightarrow2x>1$$

Portanto,

$$x>\frac{1}{2}$$

Logo,

$$S=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x>\frac{1}{2}\right\}$$

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