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Índice
Introdução
Uma inequação exponencial é toda desigualdade do tipo que envolve funções exponenciais, como por exemplo
$$2^{x}\leq4,\quad3^{2x}>9^{x+1},\quad125^{x-1}\geq1,\quad64^{3x+2}<16^{x^{2}}$$
A resolução de uma inequação exponencial se assemelha bastante a de uma equação exponencial. A ideia inicial consiste em deixar as potências envolvidas na mesma base e, ainda, apenas uma potência em cada lado da desigualdade.
Além disso, sendo \(a\) a base da potência, então
- se \(a>1\), mantém-se o sinal de desigualdade, por exemplo:
$$a^{x}<a^{y}\Rightarrow x<y$$ - se \(0<a<1\), inverte-se o sinal de desigualdade, por exemplo:
$$a^{x}<a^{y}\Rightarrow x>y$$
Consideremos então a inequação
$$2^{x}\leq16$$
Reescrevendo 16 como uma potência de 2 através da decomposição em fatores primos, temos que
$$2^{x}\leq2^{4}$$
Note que a base vale 2 e é maior que 1, logo, iremos manter o sinal de desigualdade:
$$2^{x}\leq2^{4}\Rightarrow x\leq4$$
Portanto, a solução final da inequação será
$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq4\}$$
Tomando-se agora a inequação exponencial
$$\left(\frac{1}{9}\right)^{x+1}<\frac{1}{27}$$
Podemos reescrever \(9=3^{2}\) e \(27=3^{3}\), assim
$$\left[\left(\frac{1}{3}\right)\right]^{x+1}<\left(\frac{1}{3}\right)^{3}$$
isto é
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2\cdot(x+1)}<\left(\frac{1}{3}\right)^{3}$$
$$\Rightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+2}<\left(\frac{1}{3}\right)^{3}$$
como a base vale
$$\frac{1}{3}$$
que é um número entre 0 e 1, então invertemos o sinal de desigualdade ao trabalharmos com os expoentes:
$$2x+2>3$$
e obtemos uma inequação do 1º grau, cuja resolução se dá isolando-se a incógnita
$$2x>3-2\Rightarrow2x>1$$
Portanto,
$$x>\frac{1}{2}$$
Logo,
$$S=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x>\frac{1}{2}\right\}$$
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Principais conclusões
- Uma inequação exponencial é qualquer desigualdade que envolve funções exponenciais, por exemplo 2^x ≤ 4, 3^{2x} > 9^{x+1} ou 125^{x-1} ≥ 1; busca-se o conjunto de valores de x que tornam verdadeira a relação entre potências.
- Resolva reescrevendo todas as potências na mesma base e deixando uma potência de cada lado; se a>1 mantém-se o sentido (a^x < a^y ⇒ x<y), se 0<a<1 inverte-se o sentido (a^x < a^y ⇒ x>y); depois resolva nos expoentes.
- A técnica aproxima-se da resolução de equações exponenciais: usa decomposição em fatores primos para igualar bases (por exemplo 16=2^4, 9=3^2, 27=3^3) e transforma desigualdades exponenciais em problemas algébricos de primeiro grau.
- No ENEM, evite erros comuns: não igualar bases antes de comparar expoentes, esquecer de inverter o sinal quando 0<a<1 e manipular mal os expoentes; aplique fatoração e álgebra para reduzir e conferir corretamente o intervalo solução.
- Praticamente, inequações exponenciais reduzem-se a inequações lineares nos expoentes, permitindo determinar intervalos de solução como x≤4 ou x>1/2 nos exemplos; técnica essencial para resolver questões com potências em provas e exercícios.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Inequações exponenciais para vestibular
UFV
Seja a função real \(f(x)=a^{x},a>1\), o conjunto dos valores de \(x\) para os quais \(f(x^{2}-3)>f(6)\) é:
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