Inequações logarítmicas

As inequações logarítmicas são as desigualdades envolvendo funções logarítmicas. O seu método de resolução se assemelha com o de equações logarítmicas, de tal modo que, basicamente, só há uma única diferença:

• se a base do logaritmo for um número maior que 1, mantém-se a desigualdade;
• se a base do logaritmo for um número entre 0 e 1, inverte-se a desigualdade.

Por exemplo, na resolução da inequação

$$\log_{2}(x+4)\leq\log_{2}9$$

temos que, primeiro, fazer a condição de existência. O logaritmando, por definição, sempre deve ser um número maior que zero:

$$x+4>0\Rightarrow x>-4$$

Como há apenas um logaritmo em cada lado da desigualdade e ambos estão na mesma base, podemos “eliminá-los”, usando o fato de que a base é um número maior que 1 e, portanto, manteremos a desigualdade:

$$x+4\leq9$$

e resolvemos, então, a inequação do 1º grau acima:

$$x\leq9-4\Rightarrow x\leq5$$

Portanto, a solução final da inequação será a intersecção dada pela condição de existência e pela solução parcial encontrada anteriormente:

Logo

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid-4<x\leq5\}$$

Tomemos, como exemplo, a inequação

$$\log_{1/3}(x+3)<-2$$

Através da condição de existência, temos

$$x+3>0\Rightarrow x>-3$$

E, aplicando a definição de logaritmo, além de nos atentarmos ao fato que a desigualdade deverá ser invertida (pois a base é 1/3 que está entre 0 e 1), temos que

$$x+3>\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$$

ou seja

$$x+3>9\Rightarrow x>6$$

e, fazendo a intersecção com a condição de existência, obtemos:

Portanto, a solução final será

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x>6\}$$