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Matemática

Lei dos cossenos

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 19/10/2018

Introdução

Um triângulo é um polígono que tem três lados. Na figura abaixo, temos o triângulos \(ABC\) de vértices \(A,B\) e \(C\):


Podemos classificar um triângulo quanto às medidas de seus ângulos:

  • triângulo acutângulo: é aquele cujos ângulos internos têm medidas menores que 90º, ou seja, ângulos agudos;
  • triângulo obtusângulo: tem um único ângulo obtuso, isto é, cuja medida vale mais do que 90º;
  • triângulo retângulo: possui um ângulo de 90º, que também chamamos de ângulo reto.

O triângulo \(ABC\) a seguir é retângulo em \(A\): isto significa que o ângulo \(B\hat{A}C\) vale 90º.


Em qualquer triângulo, temos que o lado com a maior medida sempre será aquele oposto ao ângulo interno de maior valor. Deste modo, em um triângulo retângulo, o lado com maior comprimento é necessariamente oposto ao ângulo reto.

O maior lado de um triângulo retângulo é chamado de hipotenusa; já os outros dois restantes, são ditos os seus catetos. Na figura a seguir, temos um triângulo \(ABC\) retângulo em \(A\). Desse modo, os lados \(\bar{BC},\bar{AB}\) e \(\bar{AC}\) são, respectivamente, a hipotenusa e os catetos do triângulo.

Fixando-se o ângulo \(\theta\) conforme na figura a seguir, então dizemos que \(\bar{AC}\) é o seu cateto oposto e \(\bar{AB}\) é o seu cateto adjacente.


Trigonometria no triângulo retângulo

A trigonometria no triângulo retângulo estuda a relação existente entre os ângulos agudos de um triângulo retângulo e as medidas de seus lados.

Consideremos o triângulo retângulo \(ABC\) a seguir:


E suponha que as medidas dos seus lados sejam aquelas indicadas acima. A partir do ângulo \(\theta\) fixado acima, definimos chamadas razões trigonométricas que são o seno, o cosseno e a tangente de \(\theta\).

Definimos o seno de \(\theta\) como a razão entre as medidas do cateto oposto a \(\theta\) e a hipotenusa:

$$\sin\theta=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}$$

O cosseno de \(\theta\) é a razão entre a medida do cateto adjacente a ele e a hipotenusa, ou seja:

$$\cos\theta=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}$$

E, por fim, a tangente de \(\theta\) é definida como sendo a razão entre as medidas dos catetos oposto e adjacente de \(\theta\), o que nos dá:

$$\tan\theta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$$

Trigonometria em triângulos quaisquer

É evidente que, as razões trigonométricas enunciadas anteriormente só podem ser utilizadas em ângulos agudos (que têm medidas menores que 90º) de triângulos retângulos. Porém, existem dois resultados que envolvem a trigonometria em triângulos quaisquer, não necessariamente retângulos.

Os dois resultados estudados são a lei dos senos e a lei dos cossenos. No tópico a seguir, enunciamos a lei dos cossenos.

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é a relação existente entre um dos ângulos internos de um triângulo e as medidas dos três lados desse triângulo.

Considere então o triângulo \(ABC\) da figura a seguir e, para início do nosso estudo, fixemos o ângulo \(\hat{A}\):


Assumindo que as medidas dos lados do triângulos são aquelas indicadas na imagem acima, então a lei dos cossenos em relação ao ângulo \(\hat{A}\) é dada por:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot\cos\hat{A}$$

Pode-se mostrar que tal resultado também vale para os outros dois ângulos internos do triângulo. Isto é, para o ângulo \(\hat{B}\), temos:

$$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot\cos\hat{B}$$

E para o ângulo \(\hat{C}\):

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot\cos\hat{C}\)

É importante ressaltar que a lei dos cossenos vale para qualquer triângulo, inclusive para triângulos retângulos. Se a aplicarmos no ângulo reto de um triângulo retângulo, obtemos o Teorema de Pitágoras.

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(FUVEST)

Um triângulo \(T\) tem lados iguais a 4, 5 e 6. O cosseno do maior ângulo de \(T\) é:

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