Logaritmos

Definimos o logaritmo de \(a\) na base \(b\) sendo igual ao número \(x\) se \(b\) elevado a \(x\) for igual a \(a\):

$$\log_{b}a=x\Leftrightarrow b^{x}=a$$

Chamamos ainda \(a\) de logaritmando.

Por exemplo:

$$\log_{2}4=2$$

pois

$$2^{2}=4$$

bem como

$$\log_{3}81=4$$

visto que

$$3^{4}=81$$

Por convenção, se a base estiver omitida, então ela vale 10, isto é:

$$\log x=\log_{10}x$$

E, além disso, quando a base for o número de Euler \(e\), então escrevemos o logaritmo a partir da sua notação como logaritmo natural:

$$\ln x=\log_{e}x$$

Por definição, em

$$\log_{b}a$$

Devemos ter:

• o logaritmando positivo: \(a>0\);
• a base positiva e diferente de 1: \(0<b\neq1\).

As propriedades de logaritmo podem ser facilmente demonstradas a partir da sua definição e o uso das propriedades de potências. As principais são:

Por exemplo, vamos supor que \(\log_{7}2=a\) e \(\log_{7}=b\), então, sendo \(6=2\cdot3\), segue da propriedade I:

$$log_{7}6=\log_{7}(2\cdot3)=\log_{7}2+\log_{7}3=a+b$$

E como \(1,5=3\div2\), temos a partir da propriedade II:

$$\log_{7}1,5=\log_{7}\left(\frac{3}{2}\right)=\log_{7}3-\log_{7}2=b-a$$

Por fim, sendo \(8=2^{3}\), logo da propriedade III

$$\log_{7}8=\log_{7}(2^{3})=3\cdot\log_{7}2=3\cdot a$$

Propriedades imediatas

Há ainda algumas propriedades que decorrem diretamente da definição de logaritmo:

Mudança de base

A mudança de um logaritmo na base \(b\) para a base \(c\) é feita usando-se a seguinte expressão:

$$\log_{b}a=\frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}$$

Por exemplo, passando da base 4 para a base 2:

$$\log_{4}8=\frac{\log_{2}8}{\log{2}4}=\frac{3}{2}$$