Lógica

Lógica é um tópico de extrema importância na Matemática, já que através dela podemos avaliar proposições e criar novos teoremas a partir do conhecimento que já possuímos. Vamos ver alguns conceitos importantes.

Oração declarativa que possui valor lógico, ou seja, pode ser avaliada como verdadeira ou falsa.

Por exemplo, a sentença “Esta mesa é de madeira” é uma proposição. Não são proposições: orações não declarativas como interrogações (“2 é um número primo?”) e sentenças abertas como x-1=2.

As proposições obedecem aos dois seguintes princípios da lógica:

Princípio da não-contradição

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Sentenças como “Esta proposição é falsa” são excluídas.)

Princípio do terceiro excluído

Uma proposição não pode ter outro valor lógico que não verdadeiro ou falso.

A partir desses conceitos podemos iniciar o estudo da Lógica Matemática. Nela as proposições podem ser simples ou compostas.

Possuem somente uma oração.

Exemplos:

• \(12\ne 3\) (lê-se “Doze é diferente de três”). Temos uma sentença verdadeira.
• \(5 > 7\) (lê-se “Cinco é maior do que sete”). Temos uma sentença falsa.
• \(18\epsilon N\) (lê-se “Dezoito pertence ao conjunto dos naturais”). Sentença verdadeira.

Possuem mais de uma sentença e por isso mesmo precisamos de conectivos (operadores lógicos) para aglutinar as proposições simples que a compõe.

Operador Não

O conectivo negação, ou simplesmente não, inverte o valor lógico da proposição, ou seja, se a proposição for verdadeira a sua negação é falsa e vice-versa. A notação para o conectivo é o símbolo ~. ~p lê-se ‘negação de pê’ ou ‘não pê’. A Tabela Verdade abaixo demonstra o efeito do conectivo NÃO sobre as proposições.

Tabela Verdade: Através da tabela verdade podemos avaliar como se comportam proposições compostas quando variamos os valores lógicos de cada sentença que a compõe.

Exemplos: ;p;"Esta cadeira é vermelha",~p;"esta cadeira não é vermelha" \(q:15>14;~p;15\leq 14\)
             

Operador E

A relação E entre proposições diz que a proposição composta p ^ q (“pê e quê”) é verdadeira quando tanto p quanto q são verdadeiras individualmente. Podemos avaliar o comportamento desse conectivo através da tabela verdade a seguir:

Operador OU

O conectivo OU na matemática é inclusivo, ou seja, basta que uma das proposições seja verdadeira para que a junção delas seja verdadeira.

 

Obs.: Na Língua Portuguesa utilizamos a palavra OU no sentido exclusivo, ou seja, na frase ‘Vou comprar um carro ou uma bicicleta’ o sentido usual é o de que apenas um dos objetos será comprado.

Operador OU exclusivo

Este conectivo faz com que a proposição composta seja verdadeira somente quando temos valores lógicos diferentes para p e q.

 

Se Então

O condicional \(p\to q\) (lê-se “Se pê, então quê”) somente é falso quando p é verdadeiro e q é falso, o que seria uma quebra da condicional.

 

Se e somente se

A bicondicional \(q\leftrightarrow q\) (lê-se “p se e somente se q”) é verdadeira quando p e q possuem o mesmo valor lógico.

 

Implicação

Quando temos um condicional que é sempre verdadeira, dizemos que \(p\Rightarrow q\) (“p implica q”).

Exemplo:

Nota-se que a condicional \(p\to q\) nesse caso é sempre verdadeira, pois tanto p quanto q são verdadeiras, logo temos a implicação \(p\to q\).

Obs..: os teoremas na matemática são da forma \(hipótese\Rightarrow tese\), pois queremos que hipóteses verdadeiras levem a teoremas ou proposições verdadeiras.

Equivalência

Temos equivalência quando a bicondicional é sempre verdadeira, ou seja, p e q tem o mesmo valor lógico. Assim dizemos que \(p\Leftrightarrow q\) (“p equivale a q”).

Obs..: Quando temos as duas implicações \(p\Rightarrow q\) e \(q\Rightarrow\) temos uma equivalência. Nesse caso tanto o teorema quanto seu recíproco são válidos.

Sentenças abertas

São proposições que não podem ser avaliadas quanto ao seu valor lógico, pois dependem do valor de uma variável desconhecida.

Exemplo: \(p;x \leq 10\). Se x fosse um valor como x=2 poderíamos avaliar p como verdadeira, porém ela pode ser falsa para x=18.

Os quantificadores lógicos podem ser utilizados para tornar sentenças abertas em proposições como veremos a seguir.

Quantificador de Generalização

O quantificador universal \(\forall\) (lê-se “para todo” ou “qualquer que seja”) modifica a sentença aberta de maneira que o valor lógico da proposição fica dependente da validade da generalização.

Exemplo: \(\forall x,x-1=2\) (“Para todo x, x menos um é igual a dois”). Essa proposição é falsa, pois se x for zero temos que x-1=2 é falsa, logo a generalização não vale.

Quantificador de Existência

O quantificador existencial \(\exists\) (lê-se “existe” ou “existe pelo menos um”) atua sobre a sentença aberta de forma que o valor lógico dependa da existência ou não de solução para ela.

Exemplo: \(\exists x\) tal que x-1=2 (“Existe x tal que x menos um é igual a dois”). Temos que essa sentença agora é uma proposição e pode ser avaliada como verdadeira já que x=3 satisfaz a equação.