Matriz

Uma matriz é uma representação de uma tabela de números. Uma das maiores aplicações de matrizes está na área de programação computacional. 

Uma matriz \(A_{m\times n}\) - escrita desta forma - indica que ela tem \(m\) linhas e \(n\) colunas.

Observe, por exemplo, a matriz \(A\) a seguir:

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

Ela pode ser indicada como \(A_{2\times3}\), pois tem 2 linhas e 3 colunas.

Do mesmo modo, indicamos por \(a_{ij}\) o elemento da matriz que se encontra na linha \(i\) e na coluna \(j\). 

Na matriz dada anteriormente, temos que \(a_{21}=4\), pois o elemento da 2ª linha que está na 1ª coluna vale 4.

Podemos representar uma matriz de três formas:

• Parênteses:
  $$A_{3\times2}=\begin{pmatrix} 8 & 1 \\ -2 & 4 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$$
• Colchetes:
  $$A_{3\times2}=\begin{bmatrix} 8 & 1 \\ -2 & 4 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$$
• Duas barras:
  $$A_{3\times2}=\begin{Vmatrix} 8 & 1 \\ -2 & 4 \\ 0 & -3 \end{Vmatrix}$$

Há algumas matrizes que, dependendo do seu formato, recebem nomes especiais.

Matriz linha

Uma matriz linha é aquela que possui uma única linha, ou seja, é do tipo \(A_{1\times n}\).

$$A_{1\times3}=\begin{bmatrix} -5 & 6 & 0 \end{bmatrix}$$

Matriz coluna

Quando uma matriz tiver uma única coluna, isto é, for do tipo \(A_{m\times1}\) então ela será dita matriz coluna:

$$A_{4\times1}=\begin{bmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$$

Matriz quadrada

Se o número de linhas for igual ao número de colunas, então a matriz será dita matriz quadrada. Além disso, a ordem da matriz corresponde ao seu número de linhas.

$$A_{3\times3}=\begin{bmatrix} -5 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$

A ordem da matriz acima é 3.

Além disso, na matriz quadrada há dois conjuntos de elementos que recebem nomes especiais: a diagonal principal e a diagonal secundária. 

Tomando a matriz acima, destacamos a sua diagonal principal abaixo:

E a sua diagonal secundária:

Matriz triangular

Uma matriz triangular é toda matriz quadrada em que os elementos acima ou abaixo da diagonal principal valem zero.

$$A_{3\times3}=\begin{bmatrix} 1 & 9 & 12 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & -7 \end{bmatrix}$$

Matriz identidade

A matriz identidade de ordem \(n\) \(I_{n}\) é toda matriz triangular em que:

• os elementos abaixo e acima da diagonal principal são nulos
• os valores das entradas da diagonal principal valem 1.

Abaixo, temos as matrizes identidades de ordem 2 e ordem 3:

$$I_{2}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$I_{3}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$