Uma matriz é uma representação de uma tabela de números. Uma das maiores aplicações de matrizes está na área de programação computacional.
Uma matriz \(A_{m\times n}\) - escrita desta forma - indica que ela tem \(m\) linhas e \(n\) colunas.
Observe, por exemplo, a matriz \(A\) a seguir:
$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$
Ela pode ser indicada como \(A_{2\times3}\), pois tem 2 linhas e 3 colunas.
Do mesmo modo, indicamos por \(a_{ij}\) o elemento da matriz que se encontra na linha \(i\) e na coluna \(j\).
Na matriz dada anteriormente, temos que \(a_{21}=4\), pois o elemento da 2ª linha que está na 1ª coluna vale 4.
Podemos representar uma matriz de três formas:
Há algumas matrizes que, dependendo do seu formato, recebem nomes especiais.
Uma matriz linha é aquela que possui uma única linha, ou seja, é do tipo \(A_{1\times n}\).
$$A_{1\times3}=\begin{bmatrix} -5 & 6 & 0 \end{bmatrix}$$
Quando uma matriz tiver uma única coluna, isto é, for do tipo \(A_{m\times1}\) então ela será dita matriz coluna:
$$A_{4\times1}=\begin{bmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$$
Se o número de linhas for igual ao número de colunas, então a matriz será dita matriz quadrada. Além disso, a ordem da matriz corresponde ao seu número de linhas.
$$A_{3\times3}=\begin{bmatrix} -5 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$
A ordem da matriz acima é 3.
Além disso, na matriz quadrada há dois conjuntos de elementos que recebem nomes especiais: a diagonal principal e a diagonal secundária.
Tomando a matriz acima, destacamos a sua diagonal principal abaixo:
E a sua diagonal secundária:
Uma matriz triangular é toda matriz quadrada em que os elementos acima ou abaixo da diagonal principal valem zero.
$$A_{3\times3}=\begin{bmatrix} 1 & 9 & 12 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & -7 \end{bmatrix}$$
A matriz identidade de ordem \(n\) \(I_{n}\) é toda matriz triangular em que:
Abaixo, temos as matrizes identidades de ordem 2 e ordem 3:
$$I_{2}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
$$I_{3}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
Qual o valor da soma dos elementos da diagonal principal da matriz abaixo?
$$\begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ -1 & 4 & 7 \\ -2 & -3 & 5 \end{bmatrix}$$