Matriz inversa

O produto entre duas matrizes, na maioria das vezes, não é comutativo, isto é, se \(A\) e \(B\) forem duas matrizes, então:

$$A\cdot B\neq B\cdot A$$

Porém, dada uma matriz quadrada \(A\), podemos definir a chamada matriz inversa de \(A\), denotada por \(A^{-1}\) que possui a seguinte propriedade:

$$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$$

Onde, \(I\) é a matriz identidade.

Para que uma matriz \(A\) tenha uma inversa, então é necessário que:

$$\det A\neq0$$

Com isso, podemos mostrar que

$$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$$

Há dois modos de se determinar a inversa de uma matriz: através de um sistema ou a partir da matriz adjunta.

Método do sistema

O método do sistema, apesar de ser o mais intuitivo, pode ser mais trabalhoso. Iremos mostrá-lo através de um exemplo, que segue abaixo.

Dada a matriz:

$$A=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$$

Temos que seu determinante vale:

$$\det A=4\cdot 2-2\cdot6=-4\neq0$$

Ou seja, \(A\) possui uma inversa, identificada por:

$$A^{-1}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

O nosso objetivo é determinar os valores das incógnitas acima. Como \(A^{-1}\) é a inversa de \(A\), então temos que \(A\cdot A^{-1}=I\), ou seja:

$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Isto é:

$$\begin{bmatrix} 4a+2c & 4b+2d \\ 6a+2c & 6b+2d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Assim, obtemos dois sistemas:

$$\left\{\begin{array}{l}4a+2c=1 \\ 6a+2c=0 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l}4b+2d=0 \\ 6b+2d=1 \end{array}\right.$$

Resolvendo cada um deles separadamente, obtemos:

$$a=-\frac{1}{2},b=\frac{1}{2},c=\frac{3}{2},d=-1$$

Ou seja, a matriz inversa de \(A\) é:

$$A^{-1}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix}$$

Método da matriz adjunta

Iremos, agora, determinar a matriz inversa da mesma matriz \(A\) dada acima. Porém usando o método da matriz adjunta. Faremos isso usando os seguintes passos:

• Cálculo da matriz dos cofatores \(A’\)

Pra isso, iremos determinar primeiramente os cofatores de cada elemento. Temos que:

$$A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix}\Rightarrow A_{11}=2$$
$$A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot\begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix}\Rightarrow A_{12}=-6$$
$$A_{11}=(-1)^{2+1}\cdot\begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix}\Rightarrow A_{21}=-2$$
$$A_{11}=(-1)^{2+2}\cdot\begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix}\Rightarrow A_{22}=4$$
Logo,
$$A’=\begin{bmatrix} 2 & -6 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

• Determinação da matriz adjunta \(\bar{A}\)

A matriz adjunta, por definição, é a transposta da matriz dos cofatores:

$$\bar{A}=A’^{t}\Rightarrow\bar{A}=\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -6 & 4 \end{bmatrix}$$

• Divisão de cada elemento por \(\det A\)
  Já calculamos o determinante de \(A\): \(\det A)=-4\). A matriz inversa será obtida através de tal cálculo do passo 3:

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot\bar{A}\Rightarrow A^{-1}=\begin{bmatrix} 2/-4 & -2/-4 \\ -6/-4 & 4/-4 \end{bmatrix}$$

Assim:

$$A^{-1}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -1 \end{bmatrix}$$

• A inversa da inversa é a própria matriz: \((A^{-1})^{-1}=A\)
• A transposta de uma inversa é a inversa da transposta: \((A^{-1})^{t}=(A^{t})^{-1}\)
• Se duas matrizes forem invertíveis, o produto também será:
  $$(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$$

Para se determinar o elemento \(b_{ij}\) da matriz inversa de \(A\), usamos a seguinte fórmula:

$$b_{ij}=\frac{1}{\det A}\cdot A_{ji}$$

Onde, \(A_{ji}\) indica o cofator do elemento \(a_{ji}\).