Quer saber quando a vaga ideal chegar? A gente te avisa!
Índice
Introdução
Dada uma matriz \(A_{m\times n}\), indicamos por \(A^{t}_{n\times m}\) a matriz transposta de \(A\) a qual se obtém ao transformar as linhas da matriz \(A\) em colunas e vice-versa.
Por exemplo, tomando-se a matriz
$$A=\begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -5 \end{bmatrix}$$
Então sua transposta será:
$$A^{t}=\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}$$
Ou seja, as linhas de \(A\) se tornam as colunas de \(A^{t}\).
Note ainda que a matriz \(A\) tem 2 linhas e 3 colunas; logo a sua transposta \(A^{t}\) possui o contrário: 3 linhas e 2 colunas.
Principais conclusões
- Matriz transposta de A (A^t) é a matriz obtida ao trocar linhas por colunas; para A de dimensão m×n, A^t tem dimensão n×m, e o elemento na posição (i,j) de A^t corresponde ao elemento (j,i) de A, preservando a organização dos termos.
- Para construir A^t troca-se cada linha de A por uma coluna correspondente, invertendo as dimensões m×n→n×m; vale (A^t)^t=A, (A+B)^t=A^t+B^t, (AB)^t=B^tA^t e det(A^t)=det(A), influenciando cálculos algébricos e produtos.
- Na álgebra linear a transposta relaciona estrutura matricial e propriedades como determinante e simetria; matrizes simétricas satisfazem A=A^t e, portanto, precisam ser quadradas, o que conecta estudo teórico e classificação de matrizes.
- Em provas como o ENEM, erros comuns incluem confundir linhas com colunas, esquecer que A^t inverte dimensões e que (AB)^t troca a ordem dos fatores; interpretar det(A^t) como diferente de det(A) é falso e leva a respostas incorretas.
- A transposta é ferramenta prática para simplificar identidades matriciais, testar simetria e reescrever operações; preserva determinantes e facilita manipulações algébricas usadas em demonstrações, verificações e resolução de exercícios.
Propriedades da matriz transposta
São válidos os seguintes resultados:
Se tomarmos a matriz
$$A=\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$$
Temos que
$$\det(A)=3\cdot4-5\cdot(-1)=12+5\Rightarrow\det(A)=17$$
Agora, a partir de sua transposta
$$A^{t]=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$$
Observamos que seu determinante vale
$$\det(A^{t})=3\cdot4-(-1)\cdot5=12+5\Rightarrow\det(A^{t})=17$$
Exemplificando assim a propriedade IV.
Matriz simétrica
Uma matriz \(A\) é dita simétrica se ela for igual a sua transposta, ou seja:
$$A=A^{t}$$
Evidentemente, pela definição de matriz transposta, uma condição necessária para que uma matriz seja simétrica é de que ela seja quadrada, isto é, tenha o mesmo número de linhas e de colunas.
Por exemplo, ao tomarmos a matriz
$$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -4 \\ 1 & 7 & 6 \\ -4 & 6 & -2 \end{bmatrix}$$
É transposta pois, claramente, \(A=A^{t}\).
Exercício de fixação
Exercícios sobre Matriz transposta para vestibular
FEI
Dada a matriz \(A=\begin{bmatrix 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\), sendo \(A^{t}\) sua transposta, o determinante da matriz \(A\cdot A^{t}\) é
Prepare-se para o Enem com a Quero Bolsa!
Receba conteúdos e notícias sobre o exame diretamente no seu e-mail