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Índice
Introdução
A média geométrica entre \(n\) números é definida como a raiz \(n\)-ésima do produto entre eles. Ou seja, o índice da raiz sempre será igual à quantidade de termos.
Assim, a média geométrica entre \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\) é dada por
$$M_{G}=\sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot\ldots\cdot x_{n}}$$
Por exemplo, a média geométrica entre os números 4 e 9 é:
$$M_{G}=\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{36}=6$$
Tomamos acima a raiz quadrada (índice igual a 2), pois calculamos a média entre 2 termos.
Se quisermos, desta vez, determinar a média geométrica entre 8, 27 e 1, iremos tomar a raiz cúbica (índice igual a 3) do produto entre eles, uma vez que estamos diante de 3 termos:
$$M_{G}=\sqrt[3]{8\cdot27\cdot1}=\sqrt[3]{216}=6$$
Principais conclusões
- A média geométrica entre n números é definida como a raiz n-ésima do produto dos termos, MG = √[n]{x1·x2·...·xn}; o índice da raiz corresponde à quantidade de termos e expressa a média multiplicativa que equilibra o produto.
- Calcula-se multiplicando todos os termos e extraindo a raiz de índice n; em variações percentuais cada aumento ou queda vira um fator multiplicativo (ex.: +10% → 1,10), faz-se o produto desses fatores e aplica-se a raiz n-ésima.
- Na matemática financeira a média geométrica serve para medir taxas médias em séries multiplicativas; exemplos mostram MG=6 para {4,9} e também para {8,27,1}, evidenciando sua função de equalizar resultados ao longo de períodos sucessivos.
- No ENEM normalmente aparece em questões ligadas a porcentagem e matemática financeira; erro comum é usar média aritmética em vez da geométrica para variações percentuais ou esquecer de converter percentuais em fatores multiplicativos.
- Permite obter a taxa média equivalente em processos de crescimento composto: traduz variações sucessivas em um único percentual constante, útil para comparar investimentos, preços ou projeções econômicas com crescimento multiplicativo.
Aplicação em matemática financeira
Uma aplicação muito utilizada de média geométrica se encontra em uma sequência de variações percentuais.
Por exemplo, suponha que o preço de um determinado produto aumente 10% após um mês, 12% após dois meses e 15% após três meses. Então o aumento médio percentual do preço desse produto é dado pela média geométrica entre os aumentos de cada mês, isto é:
$$\sqrt[3]{1,10\cdot1,12\cdot1,15}=\sqrt[3]{1,33056}\cong1,123146$$
(Lembre-se que aumento de 10% significa multiplicar o preço do produto por 1,10, de 12% por 1,12 e de 15%, por 1,15)
O valor encontrado, de 1,123146, corresponde a um aumento de 12,3146%. Isto significa que, se aumentássemos o preço do produto em 12,3146% em cada mês, obteríamos o mesmo resultado.
Por exemplo, suponha que o preço do produto seja de R$ 100,00. Aumentando em 10%, obtemos:
$$100\cdot1,10=110$$
Em seguida, 12%:
$$110\cdot1,12=123,2$$
E por fim, 15%:
$$123,2\cdot1,15=141,68$$
Este seria o seu preço final após 3 meses.
Agora, se aumentássemos 12,3146% a cada mês, obteríamos o mesmo valor:
$$100\cdot1,123146=112,31$$
$$112,31\cdot1,123146=126,14$$
$$126,14\cdot1,123146=141,68$$
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Média Geométrica para vestibular
Quero Bolsa
Qual a média geométrica entre os números 9, 8, 18 e 1?
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