Média Geométrica

A média geométrica entre \(n\) números é definida como a raiz \(n\)-ésima do produto entre eles. Ou seja, o índice da raiz sempre será igual à quantidade de termos.

Assim, a média geométrica entre \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\) é dada por

$$M_{G}=\sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot\ldots\cdot x_{n}}$$

Por exemplo, a média geométrica entre os números 4 e 9 é:

$$M_{G}=\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{36}=6$$

Tomamos acima a raiz quadrada (índice igual a 2), pois calculamos a média entre 2 termos.

Se quisermos, desta vez, determinar a média geométrica entre 8, 27 e 1, iremos tomar a raiz cúbica (índice igual a 3) do produto entre eles, uma vez que estamos diante de 3 termos:

$$M_{G}=\sqrt[3]{8\cdot27\cdot1}=\sqrt[3]{216}=6$$

Uma aplicação muito utilizada de média geométrica se encontra em uma sequência de  variações percentuais.

Por exemplo, suponha que o preço de um determinado produto aumente 10% após um mês, 12% após dois meses e 15% após três meses. Então o aumento médio percentual do preço desse produto é dado pela média geométrica entre os aumentos de cada mês, isto é:

$$\sqrt[3]{1,10\cdot1,12\cdot1,15}=\sqrt[3]{1,33056}\cong1,123146$$

(Lembre-se que aumento de 10% significa multiplicar o preço do produto por 1,10, de 12% por 1,12 e de 15%, por 1,15)

O valor encontrado, de 1,123146, corresponde a um aumento de 12,3146%. Isto significa que, se aumentássemos o preço do produto em 12,3146% em cada mês, obteríamos o mesmo resultado.

Por exemplo, suponha que o preço do produto seja de R$ 100,00. Aumentando em 10%, obtemos:

$$100\cdot1,10=110$$

Em seguida, 12%:

$$110\cdot1,12=123,2$$

E por fim, 15%:

$$123,2\cdot1,15=141,68$$

Este seria o seu preço final após 3 meses.

Agora, se aumentássemos 12,3146% a cada mês, obteríamos o mesmo valor:

$$100\cdot1,123146=112,31$$

$$112,31\cdot1,123146=126,14$$

$$126,14\cdot1,123146=141,68$$